division harmonique

Plaçons quatre repères sur une même droite orientée : D en −6, A en 0, C en 2 et B en 6. C partage le segment entre A et B, tandis que D se trouve à l'extérieur. La division est dite harmonique quand la comparaison des deux partages, calculée avec des longueurs signées, donne exactement −1.

Le signe compte autant que les distances. Il enregistre le sens dans lequel chaque segment est parcouru et permet de reconnaître une relation qui demeure vraie après une transformation projective de la droite.

Une division harmonique est une configuration ordonnée de quatre points distincts A, B, C et D d'une même droite projective. Les points A et B forment la paire de référence. Les points C et D sont leurs conjugués harmoniques lorsque le birapport, aussi appelé rapport anharmonique, vaut −1. L'ordre des points dans l'écriture fait partie de la définition.

Dans un repère affine orienté où aucun dénominateur n'est nul, le segment signé XY désigne la coordonnée de Y moins celle de X. Le critère s'écrit alors : $\frac{AC\mathrm{/}CB}{AD\mathrm{/}DB}=-1\backslash frac\{AC/CB\}\{AD/DB\}=-1$. Les signes ne peuvent pas être remplacés par des longueurs ordinaires, car ils indiquent le sens des segments sur la droite.

Pour A, B et C fixés et distincts, ce critère détermine un unique point projectif D, appelé conjugué harmonique de C par rapport à A et B. Une homographie conserve le birapport : les images des quatre points forment donc encore une division harmonique. Cette invariance explique le rôle de la configuration dans les constructions à la règle et au compas, l'étude des coniques et la géométrie projective.

Sur une droite orientée, prenons A et B comme points de référence et cherchons à contrôler que C et D sont conjugués harmoniques. Une droite graduée suffit à représenter exactement les quatre positions retenues.

Données :
D a pour coordonnée −6.
A a pour coordonnée 0.
C a pour coordonnée 2.
B a pour coordonnée 6.

1. Calculons les segments signés allant de A vers C et de C vers B : AC = 2 − 0 = 2 et CB = 6 − 2 = 4. Leur rapport vaut donc AC/CB = 1/2.

2. Calculons ensuite les segments allant de A vers D et de D vers B : AD = −6 − 0 = −6 et DB = 6 − (−6) = 12. Leur rapport vaut AD/DB = −1/2.

3. Formons le birapport demandé : $\frac{AC\mathrm{/}CB}{AD\mathrm{/}DB}=\frac{1\mathrm{/}2}{-1\mathrm{/}2}=-1\backslash frac\{AC/CB\}\{AD/DB\}=\backslash frac\{1/2\}\{-1/2\}=-1$. Le résultat est exact : C et D sont conjugués harmoniques par rapport à A et B. Le contrôle se refait en vérifiant que les deux rapports intermédiaires ont la même valeur absolue et des signes opposés.

Pour contrôler quatre points donnés sur une droite graduée, on calcule leurs segments signés puis le birapport. Ce calcul est préférable à une comparaison visuelle des distances, qui perd l'information de sens.

Dans une construction à la règle et au compas, la condition harmonique sert à caractériser le quatrième point à partir des trois autres. Un calcul de coordonnées reste une alternative utile lorsque la droite est déjà munie d'un repère.

En géométrie projective et dans l'étude des coniques, on retient la division harmonique lorsqu'une transformation est une homographie. Les distances usuelles peuvent changer, tandis que le birapport égal à −1 est conservé.

Un birapport quelconque. Le birapport associe une valeur à quatre points ordonnés d'une droite. Il ne définit une division harmonique que si cette valeur est exactement −1. Dans l'exemple A = 0, B = 6, C = 2, D = −6, le calcul donne −1 : ce cas est harmonique, et pas seulement anharmonique au sens général.

Le conjugué harmonique. La division harmonique nomme la configuration ordonnée des quatre points. Le conjugué harmonique nomme D lorsque A, B et C sont fixés. Le critère est le même, mais l'un désigne l'ensemble et l'autre le point ainsi déterminé.

Oublier les signes. Avec A = 0, B = 6, C = 2 et D = −6, les longueurs ordinaires donneraient deux rapports positifs. Il faut orienter la droite et calculer XY comme la coordonnée de Y moins celle de X ; AD vaut alors −6.

Changer l'ordre sans recalculer. Le birapport porte sur un quadruplet ordonné. Permuter A, B, C ou D modifie les segments du quotient ; il faut donc réécrire le critère correspondant au nouvel ordre au lieu de conserver automatiquement la valeur −1.

Rencontrer un dénominateur nul. La formule affine affichée suppose notamment que C et D ne coïncident pas avec B. Si deux des points requis se confondent, le quadruplet est dégéné et ce quotient ne permet pas de conclure à une division harmonique.

Le point à l'infini. Si C est le milieu affine de A et B, son conjugué harmonique est le point à l'infini de la droite. La formule fondée uniquement sur des coordonnées affines finies doit alors être remplacée par la formulation projective du birapport.

birapport — Pour replacer la valeur particulière −1 dans l'invariant associé à quatre points ordonnés.

Conjugué harmonique — Pour approfondir le point D déterminé par A, B et C.

Homographie — Pour examiner les transformations qui conservent la division harmonique.

géométrie projective — Pour situer cette invariance dans son cadre naturel.