GéométrieNotion · Glossaire
Rapport anharmonique
Pour quatre points distincts et ordonnés d’une droite projective, dans un repère affine où leurs coordonnées sont finies, le rapport anharmonique, ou birapport, est le quotient du rapport des distances algébriques des deux premiers au troisième par celui de leurs distances au quatrième. Invariant par toute transformation projective, il compare leur position relative même lorsqu’une projection ne conserve pas les longueurs.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Calculer le birapport de quatre points à partir de distances algébriques.
- Vérifier sur un exemple exact la valeur harmonique −1.
- Expliquer pourquoi l'ordre des points et le signe des distances sont indispensables.
- Relier le calcul sur des points à quatre droites concourantes et aux transformations projectives.
En clair
Imaginez quatre repères marqués sur une même droite, puis regardez-les en perspective. Leurs écarts apparents changent : certains points semblent se rapprocher, d'autres s'éloigner. Pourtant, une combinaison précise de quatre distances orientées conserve la même valeur.
Cette valeur est le rapport anharmonique, ou birapport. Elle décrit la position relative des quatre points d'une façon qui résiste aux transformations projectives. Quand elle vaut −1, les quatre points forment une configuration dite harmonique.
Définition
Le rapport anharmonique s'applique à un quadruplet ordonné de quatre points distincts d'une droite projective. Les points sont nommés A, B, C et D dans cet ordre de calcul. Sur une partie affine de la droite, les écritures AC, BC, AD et BD désignent des distances algébriques : leur signe dépend d'une orientation choisie.
Le birapport du quadruplet A, B, C, D est noté ici (A, B ; C, D) et vaut :
Le résultat ne dépend pas de l'orientation choisie, car inverser celle-ci change simultanément le signe de toutes les distances. En revanche, l'ordre des quatre points fait partie de la donnée : une permutation des lettres peut changer la valeur.
Toute transformation projective conserve ce nombre. Pour quatre droites concourantes, on les coupe par une droite ne passant pas par leur point commun ; le birapport des quatre points d'intersection donne celui des quatre droites et ne dépend pas de la coupe choisie. Le cas (A, B ; C, D) = −1 est appelé division harmonique : C et D sont alors conjugués harmoniques par rapport à A et B.
Un exemple, pas à pas
Sur une droite orientée de gauche à droite, on choisit quatre points repérés par leurs coordonnées. La figure rend visible leur ordre et leurs positions exactes.
Données : A a pour coordonnée 0 ; B a pour coordonnée 1 ; C a pour coordonnée 2 ; D a pour coordonnée 2/3.
Données : A a pour coordonnée 0 ; B a pour coordonnée 1 ; C a pour coordonnée 2 ; D a pour coordonnée 2/3.
1. Les distances algébriques vers C sont AC = 2 − 0 = 2 et BC = 2 − 1 = 1. Leur quotient vaut donc AC/BC = 2.
2. Vers D, on obtient AD = 2/3 − 0 = 2/3 et BD = 2/3 − 1 = −1/3. Le signe négatif indique que D se trouve à gauche de B. Ainsi, AD/BD = −2.
3. On divise les deux résultats :
Le quadruplet est donc harmonique.
Contrôle. Dans une division harmonique, les deux rapports simples doivent être opposés. Ici, AC/BC = 2 et AD/BD = −2 : leur somme est nulle, ce qui confirme le résultat.
En pratique
Dans une projection en perspective, les longueurs ordinaires ne sont pas conservées. Le birapport est préférable lorsqu'il faut comparer quatre points correspondants avant et après la projection : l'égalité des deux valeurs fournit le contrôle pertinent.
Pour construire un conjugué harmonique, on fixe trois points A, B et C, puis on cherche le point D qui donne un birapport égal à −1. Le critère observable est alors l'opposition des deux rapports algébriques AC/BC et AD/BD.
Avec quatre droites issues d'un même point, mesurer des angles dépend du dessin et n'est pas adapté à une transformation projective. On coupe plutôt le faisceau par une droite auxiliaire et on calcule le birapport des quatre intersections.
À ne pas confondre
Rapport simple. Un rapport comme AC/BC utilise trois points et n'est pas invariant par toute transformation projective. Le rapport anharmonique combine deux rapports simples et exige quatre points ordonnés.
Division harmonique. Elle ne désigne pas tout birapport, mais son cas particulier de valeur −1. Dans l'exemple A = 0, B = 1, C = 2 et D = 2/3, le calcul tranche : le quadruplet est harmonique précisément parce que son birapport vaut −1.
Conjugué harmonique. Le birapport est un nombre attaché à quatre éléments ordonnés. Le conjugué harmonique est au contraire un point : D est le conjugué de C par rapport à A et B lorsque (A, B ; C, D) = −1.
Limites et pièges
L'ordre compte. Écrire les mêmes quatre points dans un autre ordre peut produire une autre valeur. Il faut conserver l'ordre A, B ; C, D pendant tout le calcul et toute comparaison.
Les distances sont algébriques. Remplacer BD = −1/3 par sa longueur positive 1/3 ferait passer le résultat de −1 à 1. Il faut choisir une orientation et garder les signes des différences de coordonnées.
Les coïncidences dégénèrent la configuration. Si D coïncide avec B, alors BD = 0 et le quotient affine écrit dans la définition n'est plus calculable. Pour la définition élémentaire, on travaille donc avec quatre points distincts.
Un point à l'infini demande un autre repérage. La droite projective contient un point qui n'a pas de coordonnée affine finie. Le quotient de distances doit alors être interprété dans des coordonnées projectives, et non en lui attribuant artificiellement une très grande abscisse.
Pour aller plus loin
géométrie projective — Situer le cadre dans lequel perspectives et projections conservent le birapport.
division harmonique — Approfondir le cas charnière où le birapport vaut exactement −1.
Conjugué harmonique — Passer de la valeur −1 à la construction du quatrième point.
Homographie — Relier l'invariance du birapport aux transformations projectives d'une droite.
Birapport d'un autre monde — Prolonger la notion dans un article entièrement consacré au birapport.
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