faisceaux homographiques

Imaginez deux éventails de droites, l’un centré en I et l’autre en J. À chaque droite du premier éventail, on associe une seule droite du second, et réciproquement.

La correspondance est homographique lorsque la relation entre les positions des droites respecte le birapport. Ce nombre décrit les écarts relatifs de quatre droites ; il reste donc inchangé quand on passe d’un éventail à l’autre.

Un faisceau de droites est l’ensemble des droites passant par un même sommet. Pour le premier faisceau, de sommet I, choisissons deux droites distinctes d’équations D = 0 et D′ = 0. Toute droite du faisceau s’écrit alors D + λD′ = 0, où λ est un paramètre réel, avec la valeur infinie ajoutée pour représenter la droite D′. Pour le second faisceau, de sommet J, deux génératrices d’équations Δ = 0 et Δ′ = 0 donnent de même Δ + μΔ′ = 0, où μ est le paramètre correspondant.

Les deux faisceaux sont homographiques si chaque valeur de λ correspond à une seule valeur de μ, avec réciproque, et si ces paramètres satisfont une relation homographique :

Les lettres a, b, c et d désignent des réels vérifiant ad−bc≠0. Cette condition garantit que la relation définit une homographie régulière, bijective sur la droite projective, avec extension aux valeurs infinies. La propriété fondamentale est la conservation du birapport : quatre droites choisies dans le premier faisceau donnent quatre droites correspondantes dans le second, avec le même birapport.

Considérons deux faisceaux dans un même plan. Le premier a pour sommet I et ses droites sont données par y + λx = 0. Le second a pour sommet J et ses droites par y + μ(x − 1) = 0. On associe les droites qui portent le même paramètre.

Les quatre paramètres du premier faisceau sont λ₁ = 0, λ₂ = 1, λ₃ = 2 et λ₄ = 3. Les paramètres correspondants du second sont μ₁ = 0, μ₂ = 1, μ₃ = 2 et μ₄ = 3.

Le birapport du premier quadruplet se calcule ainsi :

Le second quadruplet donne exactement le même calcul, car μᵢ = λᵢ pour chaque indice i. Le birapport vaut donc 4/3 dans les deux faisceaux. La correspondance est bien homographique, avec la relation simple λ − μ = 0.

En géométrie projective, on paramètre les droites d’un faisceau par rapport à deux génératrices, puis on cherche une relation homographique entre les deux paramètres. Le geste utile consiste à vérifier cette relation plutôt qu’à comparer visuellement les inclinaisons.

Pour contrôler une correspondance proposée, choisissez quatre droites dont les paramètres sont connus et calculez leur birapport dans chaque faisceau. La correspondance est retenue si les deux valeurs coïncident, sous la même convention de birapport.

Le paramétrage algébrique est préférable à un simple dessin lorsque les droites sont proches, lorsque l’une est verticale ou lorsque le sommet est éloigné. Le dessin sert alors à situer les deux faisceaux, tandis que les équations portent le contrôle exact.

Homographie et simple correspondance biunivoque. Une bijection associe bien chaque droite à une seule autre droite, mais elle ne conserve pas nécessairement le birapport. Dans l’exemple conducteur, l’égalité des paramètres garantit cette conservation ; une association arbitraire de quatre paramètres ne la garantirait pas.

Faisceau homographique et faisceau harmonique. Homographique décrit une relation entre deux faisceaux. Harmonique désigne une configuration particulière de quatre éléments dont le birapport prend une valeur caractéristique, −1 selon la convention usuelle ; ce n’est pas le critère général de la correspondance entre deux faisceaux.

Les génératrices doivent être distinctes. Si D = 0 et D′ = 0 représentent la même droite, le paramétrage D + λD′ = 0 ne décrit pas correctement toutes les directions du faisceau. Il faut choisir deux droites distinctes passant par le sommet.

La valeur infinie n’est pas un oubli. Dans l’écriture D + λD′ = 0, les valeurs réelles de λ décrivent les droites sauf D′ ; cette dernière correspond au paramètre projectif λ = ∞. Si elle intervient dans un quadruplet, le birapport doit être calculé avec la convention projective adaptée.

Les coefficients ne doivent pas tous être nuls. Si a = b = c = d = 0, la relation ne relie aucune valeur de λ à μ. Même lorsque cette condition est respectée, il faut vérifier que la relation choisie donne bien une correspondance biunivoque sur les droites considérées.

Le birapport dépend d’une convention d’ordre. En permutant les quatre droites, sa valeur peut changer ; la conservation porte sur les quadruplets correspondants pris dans le même ordre. Le contrôle numérique 4/3 de l’exemple repose donc sur l’ordre (0, 1, 2, 3).

Pour formaliser le nombre conservé par quatre droites et comparer les conventions de calcul, consultez birapport. Cette lecture fournit l’outil nécessaire pour vérifier la conservation annoncée dans un faisceau homographique.

Pour étudier la transformation des paramètres elle-même, consultez Homographie. Vous y trouverez le cadre général d’une relation projective, dont la correspondance entre faisceaux est un cas d’application.