faisceau de droites

Imaginez plusieurs droites tracées sur une feuille. Si elles passent toutes par le même point O, elles forment comme un éventail dont O est l’attache. Le faisceau ne comprend pas seulement les droites déjà dessinées : il réunit toutes celles qui passent par O.

Un second cas rassemble toutes les droites d’une même direction : elles restent parallèles. Dans le plan projectif, cette direction est représentée par un point à l’infini. Les deux images, l’éventail et la famille parallèle, relèvent alors d’une seule idée.

Dans un plan affine, un faisceau propre de centre O, aussi appelé sommet, est l’ensemble de toutes les droites qui passent par O. Un faisceau parallèle est l’ensemble de toutes les droites ayant une direction fixée. Dans le premier cas, les droites sont concourantes en un point du plan ; dans le second, deux droites distinctes de la famille ne se rencontrent pas dans le plan affine.

Pour ce paramétrage, plaçons-nous dans le plan affine réel et prenons O pour origine d’un repère. Les lettres x et y désignent les coordonnées d’un point, tandis que a et b sont deux coefficients réels qui ne sont pas nuls simultanément. Le couple proportionnel noté [a:b] représente ces coefficients à un facteur non nul près. La droite correspondante, notée D avec le paramètre [a:b], s’écrit :

Multiplier a et b par un même nombre non nul ne change pas cette droite. Ce paramétrage inclut la droite verticale, qu’une écriture limitée à y = mx oublierait. Dans le plan projectif, un faisceau est l’ensemble des droites passant par un point projectif. Le centre peut donc être un point ordinaire ou le point à l’infini associé à une direction, ce qui unifie les deux cas affines.

Dans un repère du plan, considérons le point O de coordonnées (0 ; 0) et trois droites : D₁ d’équation $y=xy=x$, D₂ d’équation $y=2xy=2x$ et D₃ d’équation $x=0x=0$. La figure matérialise leur propriété commune de position.

1. Pour D₁, les coordonnées de O donnent 0 = 0 : O appartient à D₁.
2. Pour D₂, elles donnent encore 0 = 2 × 0 : O appartient à D₂.
3. Pour D₃, l’abscisse de O vaut 0 : O appartient à D₃.
4. Les trois droites distinctes passent donc par le même point O. Elles appartiennent au faisceau de centre O.

Le contrôle peut être refait avec un autre point de chaque droite : (1 ; 1) appartient à D₁, (1 ; 2) à D₂, tandis que (0 ; 1) appartient à D₃. Ces points différents confirment que les droites ne sont pas confondues. Trois droites vérifiées ne constituent toutefois qu’une sélection dans le faisceau, qui contient toutes les droites passant par O.

Dans une construction géométrique, on cherche un centre commun en prenant l’intersection de deux droites distinctes. Si une troisième droite passe par ce point, elle appartient au même faisceau propre. Si les deux premières sont parallèles, ce test affine ne fournit aucun centre ordinaire.

Avec des équations, on remplace les coordonnées du centre supposé dans chaque équation. Une égalité vraie confirme l’appartenance de ce point à la droite. Pour une famille parallèle, on compare plutôt les directions : des droites distinctes ayant la même direction appartiennent au même faisceau parallèle.

Le cadre projectif devient utile lorsque l’on veut traiter sans rupture les droites concourantes et les droites parallèles. On conserve alors le critère « toutes les droites passent par un même point », mais ce point peut être situé à l’infini.

Des droites concourantes. Cette expression peut désigner une collection finie de droites passant par un même point. Le faisceau propre, au sens retenu ici, contient toutes les droites passant par ce point. Dans l’exemple, D₁, D₂ et D₃ sont trois droites concourantes et seulement trois membres du faisceau de centre O.

La réunion des droites. Un faisceau est une famille dont les éléments sont des droites ; ce n’est pas l’ensemble des points couverts par leurs tracés. Le test tranche la confusion : on demande si une droite appartient à la famille, et non si un point appartient à la réunion des tracés.

Coefficients tous deux nuls. L’écriture ax + by = 0 ne définit pas une droite lorsque a = 0 et b = 0 : elle devient 0 = 0 pour tous les points. Il faut imposer qu’au moins un des deux coefficients soit non nul.

Pente insuffisante. Le paramétrage y = mx décrit les droites de pente m passant par O, mais il omet la droite verticale x = 0. Pour représenter le faisceau entier, on emploie ax + by = 0 avec (a ; b) différent de (0 ; 0), ou le paramètre projectif [a:b].

Doublons de paramètres. Le nombre λ désigne ici un coefficient non nul. Les couples (a ; b) et (λa ; λb) donnent alors la même droite. Les compter comme deux membres distincts crée un faux doublon ; la notation [a:b] regroupe précisément ces couples proportionnels.

Centre à l’infini. Dans le plan affine, les droites d’un faisceau parallèle n’ont pas de point commun ordinaire. Il ne faut pas leur attribuer un centre affine fictif. Dans le plan projectif, elles passent par le point à l’infini correspondant à leur direction.

Point à l’infini — Cette notion précise comment une direction affine devient un centre de faisceau dans le plan projectif.

Harmonieux faisceaux de droites — Cet article prolonge la définition vers une configuration particulière de droites et ses relations projectives.