point à l'infini

Tracez deux droites parallèles sur une feuille. Elles ne se rencontrent nulle part sur la feuille, mais elles avancent exactement dans la même direction. La géométrie projective complète le plan en attribuant à cette direction un point commun, appelé point à l'infini.

Ce point n'est pas un endroit infiniment éloigné que l'on pourrait atteindre. C'est un élément géométrique ajouté pour que deux droites distinctes aient toujours un unique point d'intersection, y compris lorsqu'elles sont parallèles dans le plan ordinaire.

Dans le plan projectif, chaque direction du plan affine détermine un point à l'infini. Deux droites affines distinctes et parallèles ont la même direction ; leurs prolongements projectifs passent donc par le même point à l'infini. L'ensemble de ces points, un par direction, forme la droite à l'infini. Une droite affine et sa complétion projective restent des objets mathématiquement distincts, la seconde ajoutant un point à l'infini ; elles peuvent cependant être notées de la même façon par abus lorsque le contexte est clair.

Un point projectif est représenté par des coordonnées homogènes [x:y:z], définies à un facteur non nul près. Dans la carte affine z ≠ 0, on retrouve les coordonnées ordinaires (x/z, y/z). Les points à l'infini sont précisément ceux pour lesquels z = 0.

Considérons une droite d'équation ax + by + cz = 0, avec a et b non simultanément nuls. Son intersection avec z = 0 vérifie ax + by = 0 ; elle est donc représentée par $[b:-a:0][b:-a:0]$. Lorsque b ≠ 0, sa pente vaut −a/b et le même point peut s'écrire $[1:-a\mathrm{/}b:0][1:-a/b:0]$. Ainsi, des droites parallèles qui ne se coupent pas dans la carte affine ont une intersection unique sur la droite à l'infini.

Prenons les droites d₁ et d₂ d'équations respectives y = x/2 + 1 et y = x/2 − 2. Les données sont leur pente commune 1/2 et leurs ordonnées à l'origine distinctes 1 et −2.

1. Passons aux coordonnées homogènes [x:y:z] : d₁ a pour équation x − 2y + 2z = 0, tandis que d₂ a pour équation x − 2y − 4z = 0.

2. Un point commun doit vérifier les deux équations. Leur différence donne 6z = 0, donc z = 0 : l'intersection n'appartient pas à la carte affine. La figure met en regard ce parallélisme et ce calcul projectif.

3. Avec z = 0, les deux équations deviennent x − 2y = 0. En choisissant y = 1, on obtient x = 2, donc le point commun P_∞ = [2:1:0].

4. Contrôlons le résultat : 2 − 2 × 1 + 2 × 0 = 0 et 2 − 2 × 1 − 4 × 0 = 0. Les coordonnées [2:1:0] satisfont bien les deux équations et codent la direction de vecteur (2, 1), de pente 1/2.

Pour trouver l'intersection de deux droites parallèles distinctes dans un calcul projectif, homogénéisez leurs équations puis imposez z = 0. Si les deux équations définissent la même droite, leur intersection projective est toute cette droite, et non un point unique. Si leurs directions diffèrent, résolvez plutôt le système complet : leur intersection est alors un point affine.

Pour reconnaître si deux équations affines ax + by + c = 0 et a′x + b′y + c′ = 0 ont le même point à l'infini, comparez les couples (a, b) et (a′, b′). Ils doivent être proportionnels ; sinon, les directions et les points à l'infini sont différents.

Dans une construction projective, l'ajout de la droite à l'infini remplace le cas particulier « les droites sont parallèles » par une intersection ordinaire. Si le problème porte seulement sur des distances ou des angles euclidiens, le cadre affine ou euclidien reste préférable, car la structure projective ne conserve pas ces mesures.

Point à l'infini et infini numérique. Un point à l'infini est un point du plan projectif, avec des coordonnées homogènes telles que z = 0 ; ce n'est ni un nombre ni la valeur d'une variable qui grandit sans borne. Le triplet [2:1:0] désigne une direction, pas une distance infinie.

Point à l'infini et point de fuite. Un point à l'infini appartient à la géométrie de la scène complétée. Dans une représentation en perspective où sa direction possède un point de fuite fini, celui-ci est l'image du point à l'infini ; selon la projection choisie, cette image peut aussi rester à l'infini. Des droites parallèles de la scène peuvent ainsi sembler converger vers un point fini du dessin.

Point à l'infini et droite à l'infini. Une direction fournit un seul point à l'infini, tandis que toutes les directions du plan affine fournissent ensemble une droite projective entière. Les directions (2, 1) et (1, 0) donnent donc deux points distincts sur cette droite.

Coordonnées non uniques. Les triplets [2:1:0], [4:2:0] et [−2:−1:0] représentent le même point, car ils diffèrent par un facteur non nul. Comparer les triplets terme à terme ferait croire à trois points ; il faut d'abord rechercher leur proportionnalité.

Directions différentes. Deux droites non parallèles n'ont pas le même point à l'infini. Dans la carte affine, elles se rencontrent déjà en un point ordinaire ; leurs points à l'infini restent distincts. Il faut comparer leurs directions avant d'identifier leurs coordonnées avec z = 0.

La droite à l'infini elle-même. L'affirmation selon laquelle une droite possède un unique point à l'infini concerne la complétion d'une droite affine. La droite z = 0 est entièrement composée de points à l'infini ; son intersection avec elle-même n'est donc pas un point unique.

Choix de la carte affine. La condition z = 0 dépend de la carte choisie pour distinguer les points ordinaires des points à l'infini. Après un changement projectif général, un point auparavant à l'infini peut devenir affine. Il faut annoncer la droite retirée avant d'employer le mot « infini ».

géométrie projective — Situer les points à l'infini dans le cadre où l'incidence des points et des droites prime sur les mesures.

Différentes perspectives… — Relier les directions d'une scène aux constructions de perspective qui organisent leur représentation sur une image plane.