configuration de Pappus

Tracez deux droites et marquez A, B et C sur la première, puis a, b et c sur la seconde. Ici, Ab désigne la droite qui joint A à b. Tracez ainsi les six droites Ab, aB, Ac, aC, Bc et bC. On retient leurs intersections par paires : X pour Ab et aB, Y pour Ac et aC, Z pour Bc et bC. Le fait remarquable est que X, Y et Z se rangent sur une même droite ; les autres intersections éventuelles ne font pas partie des neuf points distingués.

Cette figure compte neuf points au total : les six points de départ et les trois intersections. Seuls les alignements et les rencontres de droites importent ; changer les longueurs ou les angles ne détruit pas la propriété.

Une configuration de Pappus est une structure d'incidence 9₃ formée de neuf points distingués et de neuf droites distinguées. On choisit trois points distincts A, B et C sur une première droite, puis trois points distincts a, b et c sur une seconde droite distincte. Dans le cas non dégénéré, les six points de départ et les intersections construites sont tous placés de façon à fournir ces neuf points et ces neuf droites distincts. Les autres intersections éventuelles entre les droites ne font pas partie des neuf points distingués de la configuration.

Le point X est l'intersection des droites Ab et aB. Le point Y est l'intersection des droites Ac et aC. Le point Z est l'intersection des droites Bc et bC. Le théorème de Pappus affirme que X, Y et Z sont alignés. Leur droite commune complète la figure, avec les deux droites de départ et les six droites croisées.

L'énoncé appartient à la géométrie projective : deux droites distinctes y ont toujours un point d'intersection, éventuellement un point à l'infini dans une représentation affine. Il porte uniquement sur l'incidence, c'est-à-dire sur les points appartenant à une même droite. La validité générale de cette propriété dans un plan projectif est liée à la commutativité du corps qui sert à le coordonner.

Dans un repère affine, la première droite a pour équation y = 0 et porte A(0 ; 0), B(1 ; 0) et C(3 ; 0). La seconde a pour équation y = 1 et porte a(0 ; 1), b(2 ; 1) et c(4 ; 1). Les six points sont distincts.

1. Les droites Ab et aB ont respectivement pour équations y = x / 2 et y = 1 − x. Leur intersection est donc X(2/3 ; 1/3).

2. Les droites Ac et aC ont pour équations y = x / 4 et y = 1 − x / 3. Leur intersection est Y(12/7 ; 3/7).

3. Les droites Bc et bC ont pour équations y = (x − 1) / 3 et y = 3 − x. Leur intersection est Z(5/2 ; 1/2).

4. La droite passant par X et Y a pour équation $y=\frac{x+3}{11}y=\backslash frac\{x+3\}\{11\}$. Les coordonnées de Z la vérifient, car $\frac{5\mathrm{/}2+3}{11}=\frac{1}{2}\backslash frac\{5/2+3\}\{11\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$. Le contrôle est refaisable de la même façon avec X et Y : les trois intersections appartiennent bien à cette droite.

Pour construire la figure, on commence par les deux droites porteuses et leurs six points. On trace ensuite les six droites croisées par paires ; la troisième intersection doit rejoindre les deux premières sur la droite de Pappus.

Pour contrôler un dessin muni de coordonnées, le calcul des trois intersections est préférable à une lecture à l'œil. Une équation commune vérifiée par les trois points établit leur alignement dans ce cas précis.

Dans une étude purement projective, on raisonne par incidences plutôt que par longueurs ou angles. Si une intersection semble manquer parce que deux droites sont parallèles dans la représentation affine, on passe au plan projectif, où leur point commun est à l'infini.

Configuration de Pappus et théorème de Pappus. La configuration est la figure d'incidence formée par les neuf points et les neuf droites. Le théorème est l'énoncé qui garantit l'alignement de X, Y et Z. Un dessin comportant ces éléments est la configuration ; la phrase « X, Y et Z sont alignés » exprime le théorème.

Points ou droites confondus. Si deux points de départ coïncident, ou si plusieurs droites croisées se confondent, le dessin ne présente plus nécessairement neuf points et neuf droites distincts. Il faut alors traiter le cas comme dégénéré, et non le compter comme la configuration non dégénérée décrite ici.

Intersection rejetée à l'infini. Dans une vue affine, deux droites croisées peuvent être parallèles et leur intersection paraît absente. Le symptôme ne contredit pas le théorème : il faut compléter la vue par les points à l'infini du plan projectif.

Alignement jugé à l'œil. Un tracé imprécis peut placer X, Y et Z presque sur une droite sans les y placer exactement. Avec des coordonnées, on contrôle une même équation ; sans mesure, on s'appuie sur le théorème et ses hypothèses d'incidence.

Plan projectif arbitraire. L'alignement de Pappus n'est pas une conséquence automatique des seuls axiomes d'incidence dans tout plan projectif. Sa validité générale constitue une propriété supplémentaire, liée à la commutativité du corps de coordonnées.

La géométrie projective donne le cadre naturel de la configuration : elle explique pourquoi l'incidence et les points à l'infini priment sur les mesures.