GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de Pappus
Dans un plan projectif sur un corps commutatif, par exemple le plan projectif réel, soient D et D′ deux droites distinctes et A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃ six points distincts deux à deux, les trois premiers sur D et les trois autres sur D′. Les intersections respectives de A₂B₃ avec A₃B₂, de A₃B₁ avec A₁B₃ et de A₁B₂ avec A₂B₁ sont alignées : cette construction révèle qu’un réseau de croisements impose une droite, dite droite de Pappus.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les six points et les trois intersections de la configuration.
- Vérifier sur un exemple coordonné l’équation de la droite de Pappus.
- Traiter les parallèles, les points impropres et la version faible sans les confondre.
En clair
Tracez deux droites, puis marquez trois points sur chacune. Reliez ensuite ces six points en croisant les traits selon trois couples précis. Chaque couple fournit un nouveau point d’intersection.
À première vue, ces trois intersections semblent pouvoir tomber n’importe où. Le théorème de Pappus affirme pourtant qu’elles se rangent toujours sur une même droite, appelée droite de Pappus. La régularité vient de la construction, pas d’un dessin arrangé pour la faire apparaître.
Définition
Le théorème de Pappus est un résultat d’alignement de géométrie projective. On choisit deux droites distinctes, notées D et D′, puis six points distincts deux à deux : A1, A2 et A3 sur D ; B1, B2 et B3 sur D′. On croise ensuite les droites joignant les points des deux rangées.
Le point C1 est l’intersection de A2B3 avec A3B2. De même, C2 est l’intersection de A3B1 avec A1B3, et C3 celle de A1B2 avec A2B1. Le résultat garantit que C1, C2 et C3 appartiennent à une même droite. Cette droite est la droite de Pappus ; les six points de départ et les trois intersections forment la configuration de Pappus.
Dans un plan projectif pappien, notamment un plan projectif sur un corps commutatif, une intersection peut être un point propre ou un point impropre, qui traduit une direction parallèle dans une vue affine. Le résultat peut aussi servir d’axiome fondateur. Les deux droites de départ constituent enfin une conique dégénérée : sous cette lecture, l’énoncé devient le cas Pappus-Pascal.
Le principe
Dans un plan projectif sur un corps commutatif, si A1, A2, A3, B1, B2, B3 sont six points distincts deux à deux, les trois premiers sur une droite D et les trois autres sur une droite distincte D′, alors les trois intersections suivantes sont alignées :
Autrement dit, il existe une droite qui contient simultanément C1, C2 et C3 : la droite de Pappus.
Quand l'utiliser
Le théorème s’emploie dans un plan projectif pappien, notamment un plan projectif sur un corps commutatif, avec deux droites distinctes. Il faut repérer six points distincts deux à deux, trois sur chacune des deux droites, puis respecter exactement les trois couples de droites qui définissent C1, C2 et C3. La conclusion obtenue est un alignement, et non une égalité de longueurs ou d’angles.
Dans un dessin affine, deux droites de construction peuvent être parallèles : leur intersection n’apparaît alors pas comme un point ordinaire de la feuille. La construction affine semble bloquée, mais la géométrie projective la complète par un point impropre. Si l’on ne travaille qu’avec des points affines, il faut choisir des données qui rendent les trois intersections finies ou traiter séparément le parallélisme.
Un exemple, pas à pas
Prenons la droite D d’équation y = 0 et la droite D′ d’équation y = 3. Plaçons A1 = (0 ; 0), A2 = (2 ; 0), A3 = (5 ; 0), puis B1 = (1 ; 3), B2 = (4 ; 3) et B3 = (7 ; 3).
1. On intersecte A2B3 avec A3B2 : C1 = (9/2 ; 3/2).
2. On intersecte A3B1 avec A1B3 : C2 = (35/11 ; 15/11).
3. On intersecte A1B2 avec A2B1 : C3 = (8/5 ; 6/5).
2. On intersecte A3B1 avec A1B3 : C2 = (35/11 ; 15/11).
3. On intersecte A1B2 avec A2B1 : C3 = (8/5 ; 6/5).
La construction fait apparaître ces trois points sur une même droite, malgré leurs coordonnées fractionnaires.
4. Pour contrôler l’alignement, on remplace successivement x et y par les coordonnées de chaque point dans l’équation suivante : . Les trois substitutions donnent exactement zéro.
Les points C1, C2 et C3 sont donc alignés. Le calcul offre un contrôle refaisable du résultat annoncé par le théorème.
En pratique
Dans un exercice de construction, commencez par identifier les deux rangées de trois points. Associez ensuite chaque paire de droites à C1, C2 ou C3 avant de tracer : une permutation mal placée détruit le motif attendu.
Avec des coordonnées, calculez deux intersections, déterminez la droite qu’elles portent, puis testez la troisième dans son équation. Ce contrôle algébrique est préférable à une simple vérification à l’œil lorsque les coordonnées sont proches ou fractionnaires.
Si des parallèles apparaissent, passez à la lecture projective pour conserver leurs intersections comme points impropres. Si le problème reste strictement affine, signalez au contraire que l’intersection finie manque au lieu de placer arbitrairement un point.
À ne pas confondre
Le théorème de Pappus est l’affirmation d’alignement ; la configuration de Pappus est l’ensemble des six points de départ et des trois intersections. Un schéma peut donc montrer la configuration, tandis que le théorème dit la propriété que vérifient ses trois points C1, C2 et C3.
Le théorème de Pascal porte sur un hexagone inscrit dans une conique. Pappus se retrouve lorsque cette conique dégénère en deux droites portant les six sommets. Le critère qui tranche est donc le support des points : une conique générale pour Pascal, deux droites pour la configuration de Pappus-Pascal.
Limites et pièges
Un point impropre n’est pas un point « absent ». Il représente, dans le plan projectif, la direction commune de droites parallèles vues dans le plan affine. Si une intersection sort du dessin parce que deux traits sont parallèles, il faut changer de cadre ou annoncer cette limite affine.
Les droites D et D′ doivent être distinctes, mais elles ne sont pas obligatoirement parallèles. Les dessiner parallèles, comme dans l’exemple coordonné, facilite la lecture sans ajouter une hypothèse au théorème. Il faut aussi conserver trois points distincts sur chaque droite : fusionner deux points fait dégénérer la construction annoncée.
La version faible ne conclut pas directement à l’alignement des trois points C1, C2 et C3. Pour A, B, C sur D et A′, B′, C′ sur D′, elle affirme que si AB′ est parallèle à BA′ et CB′ parallèle à BC′, alors AC′ est parallèle à CA′. Employer cette variante demande donc de vérifier deux parallélismes précis.
Dans une présentation axiomatique de la géométrie projective, l’alignement de Pappus peut être posé comme axiome fondateur. Il ne faut donc pas le traiter comme une conséquence automatique de n’importe quel système d’axiomes : on vérifie que le cadre choisi admet bien l’énoncé de Pappus.
Pour aller plus loin
La géométrie projective donne le cadre où les intersections parallèles deviennent des points impropres et où la configuration reste complète.
Le théorème de Pascal replace l’alignement dans le cas d’un hexagone inscrit dans une conique non dégénérée.
La fiche sur la conique aide à saisir pourquoi deux droites peuvent être regardées comme un cas dégénéré du support de Pascal.
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