théorème de Brianchon

Imaginez six droites qui touchent toutes une même ellipse et forment un hexagone autour d’elle. Reliez ensuite chaque sommet au sommet placé trois rangs plus loin. Les trois droites ainsi tracées se rencontrent en un seul point : c’est la conclusion spectaculaire du théorème de Brianchon.

La forme de l’hexagone peut être très irrégulière. Ce n’est pas une symétrie visible qui force la rencontre, mais le contact des six côtés avec une même conique.

Un hexagone circonscrit à une conique est formé de six droites tangentes à cette conique, prises dans leur ordre autour d’elle. Deux tangentes consécutives déterminent un sommet. En nommant ces sommets A, B, C, D, E et F, les couples de sommets opposés sont A et D, B et E, puis C et F.

Le théorème de Brianchon affirme que les droites (AD), (BE) et (CF) sont concourantes. Leur point commun est parfois appelé point de Brianchon. Dans le plan projectif, ce point peut être un point ordinaire ou un point à l’infini lorsque les trois droites sont parallèles dans une vue affine.

La réciproque s’énonce pour une configuration non dégénérée : si ces trois droites sont concourantes, les six droites portant les côtés sont tangentes à une même conique. Cette formulation est le dual, par échange des points et des droites, du théorème de Pascal et de sa réciproque.

Soient A, B, C, D, E et F les sommets successifs d’un hexagone dont les six côtés sont tangents à une même conique non dégénérée. Alors les trois droites joignant les sommets opposés, (AD), (BE) et (CF), passent par un même point.

Le résultat s’applique dans le plan projectif. Il faut six côtés tangents à une même conique et un ordre cyclique cohérent, afin que les sommets A à F soient les intersections de tangentes consécutives. La configuration usuelle suppose la conique et l’hexagone non dégénérés.

Si une seule droite portant un côté ne touche pas la conique, l’hypothèse commune disparaît et la concurrence n’est plus garantie. Dans ce contre-cas, il faut calculer directement l’intersection de deux diagonales et vérifier si la troisième passe par ce point.

Considérons un cercle de centre O et six tangentes dont les points de contact sont placés aux angles 0°, 50°, 120°, 180°, 230° et 300°. Deux tangentes consécutives forment chacun des sommets A, B, C, D, E et F.

1. Les tangentes associées aux angles 0° et 180° sont parallèles et opposées par rapport à O. Il en va de même pour les paires 50° et 230°, puis 120° et 300°.

2. Une rotation de 180° autour de O envoie donc chaque tangente sur sa tangente opposée. Elle envoie A sur D, B sur E et C sur F.

3. Le centre O appartient alors à chacune des droites (AD), (BE) et (CF). Les trois diagonales principales sont bien concourantes en O, conformément au théorème de Brianchon.

Le contrôle est refaisable sans mesure : la demi-rotation conserve le cercle et échange exactement les sommets opposés. Son centre appartient nécessairement à chaque droite reliant un point à son image.

Passons à un cas sans symétrie centrale. Sur un cercle, traçons les six tangentes aux points d’angles 0°, 45°, 100°, 170°, 235° et 300°, dans cet ordre. Aucune tangente n’a ici de tangente opposée dans la liste.

4. Nommons A l’intersection des tangentes à 0° et 45°, B celle des tangentes à 45° et 100°, puis C, D et E de la même façon ; F est l’intersection des tangentes à 300° et 0°. L’hexagone ainsi obtenu est borné, ses six sommets sont finis et ses six côtés sont, par construction, tangents au même cercle.

5. Traçons (AD) et (BE), puis notons P leur point d’intersection. Les hypothèses de Brianchon sont satisfaites : le théorème permet donc de déduire, sans invoquer de symétrie, que la troisième diagonale (CF) passe elle aussi par P.

Dans une construction géométrique, le théorème remplace trois vérifications d’intersection par une propriété globale : dès que les six côtés sont tangents à la même conique, la troisième diagonale doit passer par l’intersection des deux premières.

Pour tester un dessin approché, on repère d’abord le croisement de deux diagonales principales, puis on observe l’écart de la troisième. Si la tangence des côtés n’est qu’approximative, une concurrence exacte ne doit pas être exigée.

Quand les sommets de l’hexagone sont situés sur une conique au lieu que ses côtés lui soient tangents, le théorème de Pascal est l’outil adapté. Le critère observable est donc la nature du contact avec la conique : sommets dessus ou côtés tangents.

Théorème de Pascal. Pascal part de six sommets placés sur une conique et conclut à l’alignement de trois points d’intersection de côtés opposés. Brianchon part de six côtés tangents et conclut à la concurrence de trois droites joignant des sommets opposés.

Diagonales d’un hexagone quelconque. Trois segments peuvent sembler se croiser presque au même endroit sur un dessin. Sans conique tangente commune, cette apparence ne suffit pas : il faut contrôler les intersections ou les équations des droites.

Point à l’infini. Dans une représentation affine, les trois diagonales principales peuvent être parallèles. Elles sont pourtant concourantes dans le plan projectif, en un point à l’infini ; conclure à un échec parce qu’aucun croisement fini n’apparaît serait une erreur.

Configurations dégénérées. Si des tangentes ou des sommets se confondent, les trois droites attendues peuvent ne plus être toutes définies de manière ordinaire. Il faut alors formuler un théorème limite adapté, et non appliquer mot pour mot l’énoncé générique.

Dessin numérique. Une tangence ou une concurrence affichée au pixel près reste approximative. Le symptôme est un petit triangle formé par les trois intersections ; il faut revenir aux objets exacts de la construction ou fixer une tolérance compatible avec la précision du tracé.

La dualité projective échange les rôles des points et des droites, de l’alignement et de la concurrence, ainsi que d’une conique inscrite et d’une conique circonscrite. Cette correspondance transforme l’énoncé de Pascal en celui de Brianchon.

Le théorème de Pascal présente l’énoncé dual fondé sur six points d’une conique et trois intersections alignées.