théorème de Pascal

Tracez un cercle, choisissez six points sur son bord et reliez-les dans l'ordre pour former un hexagone, même très irrégulier. Prolongez ensuite les côtés qui se font face. Dans le plan projectif, ils se rencontrent deux à deux en trois nouveaux points ; dans un dessin affine, une paire parallèle donne un point impropre, non visible à distance finie.

La surprise annoncée par le théorème de Pascal est que ces trois intersections tombent toujours sur une même droite. Cette droite de Pascal ne dépend pas de la régularité de l'hexagone : l'inscription des six sommets sur une même conique est le fait décisif.

Le théorème de Pascal est un résultat de géométrie projective portant sur un hexagone inscrit dans une conique. Considérons six points distincts A, B, C, D, E et F placés dans cet ordre sur une même ellipse, parabole, hyperbole ou sur un même cercle. Les côtés opposés sont AB et DE, BC et EF, puis CD et FA.

Notons P l'intersection des droites (AB) et (DE), Q celle des droites (BC) et (EF), et R celle des droites (CD) et (FA). Le théorème affirme que P, Q et R sont alignés. Leur droite commune est la droite de Pascal. L'ordre des six sommets compte, car il détermine quelles paires de côtés sont opposées.

L'énoncé reste valable dans le cadre projectif lorsqu'une paire de côtés est parallèle : son intersection est alors un point impropre. Le théorème de Pappus apparaît comme le cas particulier où la conique dégénère en deux droites, l'une portant A, C et E, l'autre B, D et F, de sorte que l'ordre A, B, C, D, E, F alterne entre elles. Par dualité projective, le théorème correspondant est celui de Brianchon.

Si les six sommets distincts A, B, C, D, E et F d'un hexagone appartiennent, dans cet ordre, à une même conique, alors les trois points définis par $P=(AB)\cap (DE),Q=(BC)\cap (EF),R=(CD)\cap (FA)P=(AB)\backslash cap(DE),\backslash quad\; Q=(BC)\backslash cap(EF),\backslash quad\; R=(CD)\backslash cap(FA)$ sont alignés. La droite qui contient P, Q et R est appelée droite de Pascal. Dans le plan projectif, une intersection peut être impropre lorsque les deux côtés concernés sont parallèles.

Il faut disposer de six sommets distincts et ordonnés sur une seule conique, de sorte que les droites portant les six côtés soient bien définies. Ces droites doivent être considérées dans leur entier, car les intersections cherchées peuvent se trouver loin du contour tracé. Enfin, les trois paires sont imposées par l'ordre : AB avec DE, BC avec EF, CD avec FA.

Si un sommet est choisi hors de la conique, l'alignement n'est plus garanti : le théorème ne permet alors aucune conclusion. Si deux côtés opposés sont parallèles dans le dessin affine, leur rencontre finie manque ; il faut passer au plan projectif, où leur direction commune représente un point impropre, ou traiter explicitement ce parallélisme.

Prenons un cercle et six points distincts A, B, C, D, E et F placés dans cet ordre sur sa circonférence. Le cercle est une conique : l'hypothèse essentielle est donc satisfaite.

Données :
— les sommets A à F sont sur le même cercle ;
— leur ordre fixe les côtés AB, BC, CD, DE, EF et FA ;
— les côtés opposés sont regroupés par paires.

1. Prolongez AB et DE jusqu'à leur rencontre, appelée P.

2. Procédez de même avec BC et EF pour obtenir Q, puis avec CD et FA pour obtenir R. La construction fait apparaître les six sommets en jaune et les trois intersections en rouge.

3. Tracez la droite passant par P et Q. Le point R appartient lui aussi à cette droite : c'est précisément la conclusion du théorème de Pascal.

Pour contrôler la construction, déplacez l'un des six sommets tout en le maintenant sur le cercle, reconstruisez P, Q et R, puis vérifiez leur alignement. Si le sommet quitte le cercle, ce contrôle n'est plus assuré par le théorème.

Dans une construction sur une conique, le théorème fournit une vérification d'incidence : on prolonge trois paires de côtés opposés et on contrôle l'alignement obtenu. Si l'on cherche plutôt une longueur ou un angle, ce résultat ne suffit pas, car sa conclusion porte uniquement sur l'alignement.

Sur une figure affine, une paire de côtés parallèles ne produit aucun point d'intersection visible. On conserve alors leur direction commune dans une lecture projective ; si l'on reste dans le cadre affine, on signale le parallélisme au lieu de placer artificiellement une intersection très éloignée.

Quand trois sommets appartiennent à chacune des deux droites formant une conique dégénérée, dans un ordre alterné comme A, C, E sur l'une et B, D, F sur l'autre, le théorème de Pappus est la formulation adaptée. La seule disparition de la conique non dégénérée au profit de deux droites ne suffit pas : cette répartition et cet ordre sont nécessaires.

Théorème de Pappus. Il correspond au cas particulier où la conique est dégénérée en deux droites, avec trois points sur chacune et un ordre alterné : par exemple A, C, E sur l'une et B, D, F sur l'autre. C'est dans cette configuration, avec les droites d'intersection bien définies, qu'il faut reconnaître cette formulation.

Théorème de Brianchon. C'est le dual projectif du théorème de Pascal. Pascal part d'un hexagone inscrit et conclut à l'alignement de trois intersections ; Brianchon échange les rôles projectifs des points et des droites.

Intersection hors du dessin. Les côtés de l'hexagone sont portés par des droites entières. Si deux segments ne se croisent pas dans la figure, il faut les prolonger avant de conclure qu'un point manque.

Côtés parallèles. Dans le plan affine, leur intersection n'est pas finie. Le cadre projectif ajoute un point impropre associé à leur direction ; ignorer ce point ferait perdre le cas limite explicitement couvert par l'énoncé projectif.

Ordre des sommets. Relier les mêmes six points dans un autre ordre change les côtés opposés et peut donc changer la droite de Pascal. Il faut fixer l'ordre A, B, C, D, E, F avant de former P, Q et R.

Conique dégénérée. On atteint le cas de Pappus lorsque la conique devient une réunion de deux droites portant chacune trois sommets, avec un ordre alterné adéquat, par exemple A, C, E sur l'une et B, D, F sur l'autre. Il ne faut pas présenter cette configuration comme un hexagone ordinaire inscrit dans une ellipse ou un cercle.

Géométrie projective — Situer les points impropres et comprendre pourquoi le parallélisme n'interrompt pas l'énoncé de Pascal.

Conique — Revoir la famille de courbes sur laquelle les six sommets de l'hexagone doivent être placés.

Théorème de Pappus — Examiner le cas limite où la conique de Pascal dégénère en deux droites.

Théorème de Brianchon — Poursuivre par le résultat dual, qui échange les rôles des points et des droites.