droite de Pascal

Imaginez six points posés sur le bord d'une ellipse, puis reliez-les dans l'ordre pour former un hexagone. Prolongez ensuite les côtés qui se font face : trois croisements apparaissent, parfois à l'extérieur de l'hexagone ; si des côtés opposés sont parallèles, l'un de ces croisements est à l'infini et n'apparaît pas dans la représentation.

Le théorème de Pascal affirme que ces trois croisements tombent sur une même droite. Cette droite est la droite de Pascal, ou Pascale, associée à l'hexagone choisi. La forme de l'ellipse peut changer, mais l'alignement reste la propriété à observer.

Une droite de Pascal est la droite qui contient les trois points d'intersection associés à un hexagone inscrit dans une conique. Pour un hexagone dont les sommets successifs sont A, B, C, D, E et F, les côtés opposés sont AB et DE, BC et EF, puis CD et FA.

Dans une configuration générale — six sommets distincts sur une conique non dégénérée, avec les côtés opposés distincts et leurs intersections définies — le théorème de Pascal garantit que les trois intersections P = AB ∩ DE, Q = BC ∩ EF et R = CD ∩ FA sont alignées. Une ellipse est un cas particulier de conique ; l'énoncé ne dépend donc pas de la seule apparence ovale du dessin. Les cas parallèles ou dégénérés demandent l'interprétation décrite dans la section consacrée aux cas limites.

La droite dépend de l'hexagone choisi : déplacer un seul sommet modifie en général les côtés concernés et la droite obtenue. Les intersections peuvent se trouver à l'infini lorsque deux côtés opposés sont parallèles ; en géométrie projective, ce cas reste interprétable. Lorsque la conique se réduit à deux droites, l'énoncé rejoint le cas dégénéré lié au théorème de Pappus.

La construction repose sur quatre éléments : une conique, six sommets, six côtés et trois points d'intersection. La conique fournit le support commun des sommets ; l'ordre A, B, C, D, E, F définit les côtés AB, BC, CD, DE, EF et FA.

Les côtés opposés sont regroupés par paires : AB avec DE, BC avec EF, et CD avec FA. Chaque paire produit un point, noté respectivement P, Q et R. La droite de Pascal est définie par l'alignement de P, Q et R ; elle ne se confond ni avec le bord de la conique ni avec un côté particulier de l'hexagone.

Ces données suffisent à construire la figure et à vérifier la conclusion du théorème : les trois points obtenus doivent appartenir à une même droite. L'échelle, la couleur et l'orientation du dessin changent sa présentation, mais pas la relation d'alignement.

Prenons un hexagone ABCDEF inscrit dans une ellipse. Il ne s'agit pas de mesurer les angles : on repère seulement les côtés opposés et leurs croisements.

Données.
Six sommets A, B, C, D, E et F sur une même ellipse.
Trois paires de côtés opposés : AB–DE, BC–EF et CD–FA.
Trois intersections : P, Q et R.

Étape 1. Prolongeons AB et DE jusqu'à leur intersection P.

Étape 2. Prolongeons BC et EF jusqu'à leur intersection Q.

Étape 3. Prolongeons CD et FA jusqu'à leur intersection R.

Résultat. Le théorème de Pascal donne l'alignement de P, Q et R. La droite passant par ces trois points est donc la droite de Pascal de l'hexagone ABCDEF. Pour contrôler le dessin, il suffit de vérifier que chaque point est bien le croisement de la paire annoncée et que les trois points reposent sur une même ligne.

Pour reconnaître une droite de Pascal dans une figure, commencez par vérifier que les six sommets de l'hexagone appartiennent à une même conique. Sans ce support commun, le théorème ne fournit pas l'alignement.

Pour construire la droite, associez chaque côté aux côtés qui lui sont opposés : AB avec DE, BC avec EF, puis CD avec FA. Le critère observable est l'alignement des trois intersections obtenues.

Pour une figure tracée à la main, préférez une vérification géométrique ou un calcul de coordonnées à l'impression visuelle seule. Une légère erreur de tracé peut faire paraître les trois points non alignés alors que la construction théorique les aligne.

La droite de Pascal et le théorème de Pascal. Le théorème est l'énoncé d'alignement ; la droite est l'objet géométrique qui porte les trois intersections. Pour trancher, cherchez si l'on parle de la propriété à démontrer ou de la ligne obtenue dans un hexagone précis.

La droite de Pascal et un côté de l'hexagone. Un côté relie deux sommets consécutifs, tandis que la droite de Pascal passe par les intersections de côtés opposés. Dans l'exemple ABCDEF, AB est un côté ; la droite de Pascal contient P, Q et R.

La droite de Pascal et la droite de Pappus. Elles sont liées par le cas dégénéré mentionné dans la définition, mais elles ne désignent pas la même construction générale. Pour trancher, vérifiez si la conique est conservée ou si elle se réduit à deux droites.

Un sommet hors de la conique. Si les six points ne sont pas tous sur une même conique, l'hypothèse du théorème disparaît. Le symptôme est que les trois croisements ne sont généralement plus alignés ; il faut d'abord corriger le support ou ne pas invoquer Pascal.

Une intersection à l'infini. Deux côtés opposés peuvent être parallèles dans le dessin. Leur point commun n'apparaît alors pas à distance finie ; il faut l'interpréter comme un point à l'infini dans le cadre projectif, plutôt que conclure que le théorème échoue.

Une conique dégénérée. Lorsque la conique se réduit à deux droites, on ne se trouve plus dans la présentation ordinaire d'une ellipse. Il faut reconnaître le cas dégénéré indiqué par la source et le relier au théorème de Pappus.

La droite de Pascal ouvre sur la géométrie projective : les alignements et les intersections restent au centre de l'énoncé, y compris lorsque certaines intersections doivent être pensées à l'infini. Le cas où la conique se réduit à deux droites prolonge cette lecture vers le théorème de Pappus.