Brianchon Charles

Imaginez un cercle entouré par six droites qui le touchent. Ces droites forment un hexagone, même si ses côtés sont définis par leurs tangentes. Reliez ensuite chaque sommet au sommet situé trois places plus loin. Le théorème de Brianchon affirme que les trois grandes diagonales ainsi tracées se rencontrent en un même point. Cette rencontre révèle une organisation cachée dans la figure : les six côtés ne sont pas disposés au hasard.

Le théorème de Brianchon porte sur un hexagone circonscrit à une conique. Une conique est une courbe obtenue notamment comme section d’un cône ; dans la figure, ses six côtés sont six droites tangentes à cette courbe. Les sommets sont les intersections successives de deux côtés voisins.

Si les sommets successifs sont notés A, B, C, D, E et F, les diagonales concernées sont les droites joignant les couples de sommets opposés A-D, B-E et C-F. Sous l’hypothèse que l’hexagone est bien circonscrit à une même conique et que ces droites sont définies, ces trois diagonales sont concourantes : elles passent toutes par un point commun. Le résultat ne dépend ni de la forme particulière de la conique ni de la régularité de l’hexagone.

Cette propriété appartient à la géométrie projective, qui étudie les incidences conservées par projection. Elle est dite duale du théorème de Pascal : au lieu de partir de six points situés sur une conique, on part ici de six tangentes à cette conique. La dualité échange ainsi points et droites, ainsi que certaines relations d’alignement et de concours.

Considérons un cercle de centre O et de rayon 100√3 unités, soit environ 173,205 unités, entouré par un hexagone régulier dont chaque côté est tangent au cercle. Les six sommets sont nommés dans l’ordre A, B, C, D, E et F. Dans cet exemple, le rayon circonscrit de l’hexagone vaut 200 unités et son apothème vaut exactement 100√3 unités.

1. Les côtés AB, BC, CD, DE, EF et FA sont tangents au même cercle.
2. Les sommets opposés sont A-D, B-E et C-F.
3. Dans un hexagone régulier, chaque couple de sommets opposés est aligné avec le centre O.
4. Les droites AD, BE et CF passent donc toutes par O.
5. Elles sont par conséquent concourantes en O.

Le contrôle est directement vérifiable dans la représentation : les trois segments joignent des points opposés et leur point commun est le centre du cercle. L’exemple illustre le théorème avec une conique particulière, le cercle ; le théorème affirme la même concurrence pour toute conique admissible.

En géométrie projective, le théorème sert à reconnaître un point de concours imposé par six tangentes à une conique. Lorsque la figure est compliquée, il suffit d’identifier les six côtés tangents, de nommer les sommets dans leur ordre, puis de relier les sommets opposés.

Dans un dessin régulier, le point commun peut sembler évident par symétrie. Cette intuition devient un critère plus puissant lorsque la conique ou l’hexagone est déformé : la concurrence reste la conclusion à vérifier, tandis que la symétrie n’est plus un argument suffisant.

Le théorème de Brianchon ne se confond pas avec le théorème de Pascal. Le critère qui les sépare est la donnée de départ : Brianchon utilise six tangentes à une conique et conclut à la concurrence de trois diagonales ; Pascal utilise six points sur une conique et conclut à l’alignement de trois intersections de côtés opposés.

Il ne faut pas non plus appeler « diagonales » les six côtés tangents. Dans l’hexagone ABCDEF, les diagonales du théorème sont AD, BE et CF, car elles relient les sommets opposés. Les côtés AB, BC, CD, DE, EF et FA servent à définir l’hexagone circonscrit.

Le mot « circonscrit » impose une condition précise : les six côtés doivent être des tangentes à une même conique. Un hexagone quelconque qui contient une ellipse ou un cercle ne suffit pas. Si une seule droite ne touche pas la même conique, la conclusion de Brianchon ne s’applique plus.

Les cas dégénérés demandent une convention de géométrie projective. Une intersection située à l’infini peut être considérée comme un point projectif, mais un tracé euclidien ordinaire ne la montre pas comme un point fini. Il faut alors raisonner dans le plan projectif plutôt que conclure à une concurrence visible dans le plan usuel.

La régularité de l’exemple conducteur n’est pas une hypothèse du théorème. Elle rend le point de concours facile à repérer, mais une déformation conserve le résultat seulement si les six nouvelles droites restent tangentes à une même conique et si les sommets opposés restent définis.

Le théorème de Brianchon présente la propriété dans son cadre dédié et permet d’approfondir la formulation projective des six tangentes.

Le théorème de Pascal permet d’examiner la dualité annoncée ici en partant de six points sur une conique plutôt que de six tangentes.