Terquem Olry

En 1804, à Mayence, Olry Terquem enseigne à l’école d’artillerie. Après la fin de l’Empire napoléonien, il poursuit à Paris une carrière de professeur et de bibliothécaire au dépôt central de l’artillerie.

Son nom reste surtout attaché à la géométrie du triangle. Une construction part de trois droites issues des sommets et réunies en un point. Un cercle passant par leurs rencontres avec les côtés fait apparaître trois autres rencontres, qui s’alignent à leur tour avec les sommets vers un même point.

Olry Terquem (1782–1862) est un mathématicien et polémiste français, principalement associé à la géométrie plane. Entré à l’École Polytechnique en 1801, il enseigne à l’école d’artillerie de Mayence de 1804 à la fin de l’Empire napoléonien. À Paris, il devient professeur de mathématiques, professeur de sciences appliquées et bibliothécaire au dépôt central de l’artillerie. Il publie dans le Journal de Liouville et fonde les Nouvelles Annales de mathématiques. Érudit polyglotte et israélite engagé, il milite aussi pour un judaïsme libéral et réformiste.

Le théorème de Terquem concerne un triangle dont les sommets sont A, B et C. Trois céviennes, c’est-à-dire trois droites joignant chacune un sommet au côté opposé, se rencontrent en un point I. Leurs points d’arrivée sur les côtés sont notés A′, B′ et C′. Le cercle passant par ces trois points recoupe les côtés en trois autres points. Les droites joignant ces nouveaux points aux sommets opposés sont, elles aussi, concourantes. L’ensemble des six intersections avec les côtés forme les points de Terquem.

Le cercle de Terquem est un autre nom du cercle des neuf points. Terquem complète des résultats de Brianchon : en plus des pieds des hauteurs et des milieux des côtés, ce cercle contient les milieux des segments qui joignent l’orthocentre aux trois sommets.

On prend le triangle de sommets A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 6). Le point commun des premières céviennes est I(1 ; 2). Leurs rencontres avec les côtés opposés sont A′(2 ; 4), B′(0 ; 12/5) et C′(3/2 ; 0).

1. Déterminer le cercle passant par A′, B′ et C′. Pour des coordonnées x et y, son équation est :

2. Chercher la seconde intersection avec chaque côté. On obtient A″(321/80 ; 159/80) sur le côté BC, B″(0 ; 37/24) sur AC et C″(37/15 ; 0) sur AB.

3. Tracer AA″ et BB″. Leur intersection est le point J :

4. Contrôler la troisième droite. La droite CJ coupe l’axe AB en C″(37/15 ; 0). Les trois secondes céviennes passent donc bien par J, conformément au théorème de Terquem.

Pour lire une notice sur Terquem, le premier geste consiste à séparer sa carrière de ses résultats. Les dates 1801 et 1804 situent sa formation puis son enseignement ; elles ne datent pas le théorème ni le cercle.

Pour reconnaître le théorème de Terquem dans une figure, on repère deux triplets de points sur les côtés d’un même triangle. On choisit ce théorème plutôt qu’une simple propriété de cercle lorsque chaque triplet est relié aux sommets par trois droites concourantes.

Pour reconnaître le cercle de Terquem, on cherche les pieds des hauteurs, les milieux des côtés et les milieux entre l’orthocentre et les sommets. Si la figure montre seulement les six intersections du théorème précédent, il faut étudier leur cercle propre plutôt que conclure au cercle des neuf points.

Terquem Olry et Olry Terquem. La page emploie le nom d’index « Terquem Olry », tandis que la personne est désignée dans le texte par l’ordre usuel « Olry Terquem ». Les deux formes renvoient au même mathématicien né en 1782.

Théorème de Terquem et cercle de Terquem. Le théorème part de céviennes concourantes et produit un second triplet concourant. Le cercle de Terquem désigne le cercle des neuf points ; la présence des milieux des côtés tranche entre les deux sujets.

Cercle passant par les points de céviennes et cercle des neuf points. Dans le théorème, le cercle dépend des trois premières intersections choisies. Le cercle des neuf points dépend du triangle et de son orthocentre. Ils ne coïncident pas en général.

Triangle dégénéré. Si A, B et C sont alignés, il n’existe plus de triangle au sens requis et les côtés opposés ne définissent pas la construction. Il faut commencer par vérifier que les trois sommets ne sont pas alignés.

Seconde intersection confondue avec la première. Si le cercle est tangent à un côté en A′, B′ ou C′, le point annoncé comme « autre » intersection n’est pas distinct. La lecture en six points distincts échoue ; il faut traiter la tangence comme un cas limite avec multiplicité.

Côté ou droite support. Une seconde intersection peut appartenir à la droite qui porte un côté sans rester dans le segment. Il faut prolonger les côtés et raisonner sur leurs droites supports au lieu d’écarter le point parce qu’il est extérieur au triangle.

Attribution sans date. La source associe Terquem au théorème et à l’extension des résultats de Brianchon, mais ne date pas ces travaux. Les années 1801 et 1804 concernent sa formation et son poste à Mayence ; elles ne doivent pas devenir des dates de découverte.

La notion de cévienne précise le rôle des droites issues des sommets et aide à relire les deux concurrences du théorème de Terquem.

L’Orthocentre donne le point à partir duquel se construisent trois des neuf points du cercle associé au nom de Terquem.

Le cercle des neuf points développe la seconde contribution géométrique mentionnée dans la fiche et rassemble les trois familles de points concernées.