cercle des neuf points

Tracez un triangle, puis marquez le milieu de chacun de ses côtés et l'endroit où chaque hauteur rencontre la droite portant le côté opposé. Ajoutez encore les milieux entre chaque sommet et l'orthocentre, point de rencontre des hauteurs. Ces neuf marques, issues de trois constructions différentes, se placent sur un même cercle.

Son centre est à mi-chemin entre l'orthocentre et le centre du cercle passant par les trois sommets. Cette position donne une manière directe de le construire.

Dans un triangle non dégénéré ABC, les trois hauteurs se rencontrent en l'orthocentre H. Le cercle des neuf points est l'unique cercle qui passe par trois familles de points : les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux de [AH], [BH] et [CH]. Ces neuf positions ne sont pas toujours distinctes, mais la définition reste la même.

Le centre O du cercle circonscrit et l'orthocentre H déterminent son centre N : N est le milieu de [OH]. Si R désigne le rayon du cercle circonscrit, le rayon du cercle des neuf points vaut $R\mathrm{/}2R/2$. En effet, l'homothétie de centre H et de rapport $1\mathrm{/}21/2$ envoie les sommets sur les milieux de [AH], [BH] et [CH], et le cercle circonscrit sur le cercle des neuf points. L'homothétie de centre G, où G est le centre de gravité, et de rapport $-1\mathrm{/}2-1/2$ donne le même cercle.

Le théorème de Feuerbach ajoute une propriété remarquable : dans un triangle non équilatéral, ce cercle est tangent intérieurement au cercle inscrit et tangent extérieurement aux trois cercles exinscrits. Dans le cas équilatéral, le cercle des neuf points et le cercle inscrit coïncident. Les premières propriétés sont attribuées dans la source à Brianchon et Poncelet, même si le cercle est souvent appelé cercle d'Euler.

La construction repose sur six éléments liés. Le triangle ABC fournit les trois côtés et les trois sommets. Les hauteurs déterminent à la fois leurs trois pieds et leur point commun H, l'orthocentre. Les côtés donnent leurs trois milieux. Les segments reliant H aux sommets donnent trois autres milieux. Enfin, le cercle circonscrit fournit son centre O et son rayon R.

Le milieu N de [OH] devient le centre recherché, et le rayon vaut la moitié de R. Ces deux données suffisent à tracer le cercle. La forme ou l'orientation du triangle modifie la position des points, sans modifier les relations qui les définissent. La figure associée distingue les trois familles de points et matérialise ce centre commun.

Considérons le triangle dont les sommets sont A(0, 0), B(6, 0) et C(2, 4). Les coordonnées sont exprimées dans un repère orthonormé.

1. Le côté AB est horizontal. La hauteur issue de C est donc la droite verticale d'abscisse 2. La hauteur issue de B rencontre cette droite au point H(2, 2), l'orthocentre.

2. La médiatrice de [AB] a pour abscisse 3. L'égalité des distances aux sommets A et C place le centre du cercle circonscrit en O(3, 1). Son rayon est $R=\sqrt{10}R=\backslash sqrt\{10\}$.

3. Le milieu de [OH] est N(2,5 ; 1,5). Le cercle des neuf points a donc pour rayon $\sqrt{10}\mathrm{/}2\backslash sqrt\{10\}/2$. Si x et y désignent les coordonnées d'un point du cercle, son équation est :

4. Pour contrôler, le milieu de [AB] est (3, 0). En remplaçant x par 3 et y par 0, le membre de gauche vaut 1/4 + 9/4 = 5/2 : ce point appartient bien au cercle.

Pour construire le cercle, il suffit souvent de trouver trois milieux de côtés : ils déterminent déjà un cercle. Si les hauteurs sont disponibles, vérifier que leurs pieds appartiennent au tracé contrôle la construction.

Lorsque le centre du cercle circonscrit O, son rayon R et l'orthocentre H sont connus, la méthode la plus courte consiste à prendre le milieu N de [OH], puis le rayon $R\mathrm{/}2R/2$. Elle évite de construire trois médiatrices supplémentaires.

Pour étudier une tangence avec le cercle inscrit ou un cercle exinscrit, la construction par N et R/2 est préférable : elle rend accessibles les centres et les rayons nécessaires au contrôle.

Le cercle circonscrit. Il passe par les trois sommets du triangle et a pour centre O. Le cercle des neuf points passe notamment par les milieux des côtés, a pour centre N et possède un rayon deux fois plus petit.

Le cercle inscrit. Il est tangent aux trois côtés et son centre est à égale distance de ces côtés. Le cercle des neuf points n'est pas défini par cette tangence ; le théorème de Feuerbach affirme seulement que les deux cercles sont eux-mêmes tangents dans un triangle non équilatéral. Dans le cas équilatéral, ils coïncident.

La droite d'Euler. C'est une droite portant notamment O, H et N, tandis que le cercle des neuf points est le cercle centré en N. Dans un triangle non équilatéral, trois points alignés caractérisent la droite, pas le cercle.

Triangle rectangle. L'orthocentre coïncide avec le sommet de l'angle droit. Deux pieds de hauteurs coïncident aussi avec ce sommet : les neuf positions nommées ne donnent donc pas neuf points distincts. Il faut conserver les trois familles dans le raisonnement, sans recompter les points confondus.

Triangle équilatéral. Le centre circonscrit O et l'orthocentre H coïncident, donc N est ce même point. Les pieds des hauteurs coïncident avec les milieux des côtés. Le cercle existe toujours, mais plusieurs des neuf positions se superposent.

Triangle obtus. Certains pieds de hauteurs se trouvent sur les prolongements des côtés, et non sur les segments eux-mêmes. Ils appartiennent néanmoins au cercle ; il faut prolonger les droites porteuses avant de construire les perpendiculaires.

Trois sommets alignés. Ils ne forment pas un triangle non dégénéré et aucun cercle circonscrit unique n'existe. La construction par O, H et un rayon R/2 ne s'applique donc pas.

L'article Orthocentre approfondit la construction du point H, commun aux hauteurs et indispensable pour repérer six des neuf positions.

La fiche droite d'Euler situe le centre N parmi les centres remarquables alignés du triangle.

La notion de cercle inscrit prépare la lecture du théorème de Feuerbach et de sa tangence intérieure.