points isogonaux

Dans un triangle, imaginez un miroir posé sur la bissectrice de chacun des trois angles. Depuis chaque sommet, une droite vise un même point P. On réfléchit ces trois droites dans les miroirs correspondants.

Lorsque les trois droites initiales sont définies et que leurs images ont un point de concours fini, les trois droites réfléchies se rencontrent en un point P*. Les points P et P* sont alors conjugués isogonaux. Si P* est lui-même un point admissible, refaire les mêmes réflexions à partir de P* ramène à P : la relation fonctionne dans les deux sens.

Soit un triangle non dégénéré ABC et un point P pour lequel la construction est définie. À chaque sommet, on réfléchit la droite joignant ce sommet à P par rapport à la bissectrice intérieure de l’angle. Dans le plan euclidien, les trois droites obtenues sont concourantes en un point fini P* lorsque le conjugué appartient au domaine considéré ; dans le plan projectif, leur point commun peut être à l’infini, et certaines configurations limites rendent la construction indéfinie. On dit aussi que P et P* sont des points isogonaux par rapport à ABC. La transformation dépend donc du triangle choisi.

La conjugaison isogonale est une involution sur les points admissibles : lorsque P et P* sont tous deux des points finis admissibles, le conjugué de P* est P. Certains points restent fixes. Le centre du cercle inscrit et chacun des trois centres des cercles exinscrits appartiennent à ce cas, car les droites concernées sont elles-mêmes des bissectrices.

Parmi les couples remarquables, le centre du cercle circonscrit est associé à l'orthocentre, le point de Lemoine au centre de gravité, et les deux points de Brocard l'un à l'autre. Le premier couple relie aussi la conjugaison isogonale à la droite d'Euler et au cercle de Feuerbach.

Considérons le triangle dont les sommets sont A(0, 0), B(6, 0) et C(2, 4). Nous allons retrouver deux points isogonaux remarquables : l'orthocentre H et le centre du cercle circonscrit O.

1. Le côté AB est horizontal. L'altitude issue de C est donc la droite verticale x = 2.
2. Le côté BC a pour pente −1. L'altitude issue de A a pour pente 1, donc pour équation y = x.
3. Leur intersection donne H(2, 2).

4. La médiatrice de AB est x = 3.
5. Le milieu de AC est (1, 2). Comme AC a pour pente 2, sa médiatrice a pour pente −1/2 ; à x = 3, elle donne y = 1.
6. Les deux médiatrices se coupent donc en O(3, 1).

Le contrôle du centre est direct : OA² = 3² + 1² = 10, OB² = (3 − 6)² + 1² = 10 et OC² = (3 − 2)² + (1 − 4)² = 10. O est donc bien le centre du cercle circonscrit. Vérifions maintenant la réflexion en A : AO a pour pente 1/3, AH pour pente 1 et AC pour pente 2. Ainsi, l'angle entre AB et AO vaut arctan(1/3), comme l'angle entre AH et AC ; de même, l'angle entre AB et AH vaut 45°, comme l'angle entre AO et AC. Les droites AO et AH sont donc les images miroir l'une de l'autre autour de la bissectrice intérieure en A. Il reste à reproduire ce contrôle en B et en C, selon la méthode donnée dans « En pratique » : les trois vérifications établissent que O et H sont conjugués isogonaux.

Pour construire le conjugué fini d'un point, tracez depuis chaque sommet la droite qui le rejoint, puis réfléchissez cette droite autour de la bissectrice intérieure. Si deux droites réfléchies ne sont pas parallèles, elles suffisent pour placer le point candidat ; la troisième sert de contrôle.

Pour identifier un point remarquable inconnu, cherchez d'abord son partenaire connu. Si le centre du cercle circonscrit est déjà construit, la conjugaison isogonale conduit à l'orthocentre ; si le centre de gravité est connu, elle conduit au point de Lemoine.

Pour vérifier une construction dont le conjugué est fini, comparez à chaque sommet les angles formés avec la bissectrice intérieure. Les deux droites doivent en être des images miroir, et les trois images doivent aboutir au même point fini.

Deux droites symétriques et deux points isogonaux. À un sommet, deux droites peuvent être symétriques par rapport à une bissectrice. Deux points ne sont isogonaux que si cette symétrie est vérifiée aux trois sommets du même triangle. Une égalité d'angles observée seulement en A ne suffit donc pas.

Point fixe et paire de points distincts. Un point peut être son propre conjugué isogonal. Le centre du cercle inscrit en fournit un cas : les droites issues des sommets sont déjà portées par les bissectrices. À l'inverse, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit sont généralement distincts.

Triangle dégénéré. Si les trois sommets sont alignés, les angles et leurs bissectrices intérieures ne définissent plus la construction attendue. Il faut d'abord vérifier que ABC est un véritable triangle.

Point placé sur un sommet. Si P coïncide avec A, la droite PA n'a pas de direction déterminée. La recette par réflexion des trois droites ne s'applique donc pas telle quelle ; il faut traiter séparément ce cas limite.

Conjugué non fini. Pour un point du cercle circonscrit distinct des sommets, les trois droites réfléchies peuvent être parallèles : leur point commun se trouve alors à l'infini dans le plan projectif. Dans une construction euclidienne ordinaire, le symptôme est l'absence d'intersection finie.

Mauvaise bissectrice de référence. La définition utilise à chaque sommet la bissectrice intérieure. Réfléchir autour d'un axe choisi visuellement peut produire trois droites non concourantes ; il faut construire les bissectrices à partir des côtés du triangle.

L'Orthocentre montre comment les hauteurs déterminent l'un des deux points du couple O–H.

La bissectrice intérieure précise l'axe de réflexion employé à chacun des trois sommets.

Le centre de gravité donne accès à un autre couple remarquable, puisqu'il a pour conjugué isogonal le point de Lemoine.