cercle de Lemoine

Tracez un triangle, puis marquez le point où ses trois symédianes se rencontrent. Par ce point, faites passer trois droites, chacune parallèle à un côté. Elles rencontrent les deux autres côtés en six points. Le fait remarquable est que ces six points appartiennent à un même cercle : le premier cercle de Lemoine.

Pour obtenir le second cercle, remplacez chaque parallèle par une antiparallèle : réfléchissez la direction du côté choisi par rapport à la bissectrice de l'angle opposé, puis tracez par L une droite parallèle à cette direction réfléchie. La définition détaillée applique ce geste à chacun des trois côtés. Les deux figures partent donc du même triangle et du même point, mais pas des mêmes droites.

Dans un triangle non dégénéré, une symédiane issue d'un sommet est l'image de la médiane issue de ce sommet par symétrie par rapport à la bissectrice du même angle. Les trois symédianes sont concourantes ; leur point d'intersection est le point de Lemoine, noté L.

Pour construire le premier cercle de Lemoine, on mène par L les trois parallèles aux côtés. Chacune coupe les deux autres côtés : les six intersections ainsi obtenues sont cocycliques. Leur cercle a pour centre O', milieu du segment [OL], où O est le centre du cercle circonscrit au triangle. Les six points, reliés dans leur ordre sur le cercle, forment l'hexagone de Lemoine.

Pour le deuxième cercle de Lemoine, on trace par L les antiparallèles aux trois côtés. Par exemple, pour le côté [BC], on réfléchit la direction de (BC) par rapport à la bissectrice de l'angle A, puis on mène par L la parallèle à cette direction réfléchie : c'est l'antiparallèle à (BC) par rapport à l'angle A. On répète le geste pour [CA] avec l'angle B, puis pour [AB] avec l'angle C. Chaque droite coupe les deux côtés qui forment son angle de référence : les six intersections sont cocycliques. Cette fois, le centre du cercle est L lui-même. Ces deux cercles sont des cas particuliers des cercles de Tücker.

La configuration repose sur cinq éléments. Le triangle fournit trois sommets et trois côtés. Ses médianes et ses bissectrices déterminent les symédianes, dont le concours fixe L. Les trois droites menées par L, parallèles ou antiparallèles aux côtés, créent six intersections. Enfin, le cercle recherché passe par ces six points.

Le choix des droites détermine la variante : des parallèles donnent le premier cercle, tandis que des antiparallèles donnent le second. Ce choix détermine aussi le centre : le milieu O' de [OL] dans le premier cas, L dans le second. La taille, la couleur ou l'orientation du dessin ne définissent pas la configuration ; seules les relations d'incidence, de parallélisme, d'antiparallélisme et de cocyclicité comptent.

Considérons un triangle scalène A, B, C. Les données sont ses trois côtés, les trois médianes, les trois bissectrices et le centre O de son cercle circonscrit. Nous allons construire le premier cercle de Lemoine.

1. Pour chaque sommet, réfléchissez la médiane correspondante par rapport à la bissectrice du même angle : vous obtenez une symédiane.
2. Marquez leur point de concours L.
3. Par L, tracez une parallèle à chacun des trois côtés.
4. Marquez, sur les deux autres côtés, les deux intersections produites par chaque parallèle.
5. Tracez le cercle passant par ces six points, puis placez O' au milieu de [OL].

Le contrôle est double et peut être refait à la règle et au compas : les six points doivent appartenir au même cercle ; son centre O' doit être aligné avec O et L, à égale distance de ces deux points. La figure associée matérialise ces vérifications sur un même triangle scalène.

Dans une construction géométrique, le premier réflexe est de repérer L. Si les droites passant par L sont parallèles aux côtés, le centre attendu n'est pas L : il faut construire O, puis le milieu O' de [OL].

Si les droites sont antiparallèles, la seconde variante est en jeu. Le critère observable est alors le centre du cercle : les six points doivent être à la même distance de L.

Pour contrôler un dessin, il vaut mieux tester les six distances au centre annoncé que se fier à l'apparence ronde. Un tracé approximatif peut faire croire à la cocyclicité sans la garantir.

Le point de Lemoine est un point : l'intersection des symédianes. Un cercle de Lemoine est une courbe obtenue à partir de ce point. Dans une figure, L seul ne suffit donc pas à montrer le cercle ; il faut aussi les six intersections cocycliques.

Une symédiane n'est pas une médiane. La médiane joint un sommet au milieu du côté opposé ; la symédiane est sa symétrique par rapport à la bissectrice du sommet. Elles coïncident dans certains triangles symétriques, mais leurs définitions restent différentes.

Un cercle de Tücker appartient à une famille plus large. Les deux cercles de Lemoine en sont des cas particuliers, reconnaissables parce que la construction utilise précisément le point de Lemoine et les parallèles ou antiparallèles décrites ici.

La construction suppose un triangle non dégénéré. Si les trois sommets sont alignés, les angles, le cercle circonscrit et son centre O ne fournissent plus la configuration requise ; il ne faut pas parler de premier cercle de Lemoine dans ce cadre.

Le mot « six » compte les intersections produites par trois droites, à raison de deux par droite. Il ne signifie pas que six droites sont tracées. Pour contrôler la construction, chaque parallèle ou antiparallèle doit passer par L et rencontrer les deux côtés auxquels elle n'est pas associée.

Le centre change avec la variante. Prendre systématiquement L pour centre est une erreur visible sur le premier cercle : le centre correct est le milieu de [OL]. Inversement, reporter ce milieu dans la seconde construction contredit la propriété qui place son centre en L.

Le point de Lemoine précise le concours des symédianes qui commande les deux constructions.

La fiche sur la symédiane approfondit la droite obtenue par réflexion d'une médiane autour d'une bissectrice.

Le cercle de Tücker replace les deux cercles de Lemoine dans la famille géométrique dont ils sont des cas particuliers.