symédiane

Imaginez un triangle et tracez, depuis un sommet, la droite qui rejoint le milieu du côté opposé : c'est une médiane. Tracez aussi la bissectrice, qui partage l'angle du sommet en deux angles égaux.

La symédiane est l'image de cette médiane dans un miroir placé sur la bissectrice. Le triangle en possède une par sommet. Fait remarquable, ces trois droites passent toutes par le même point : le point de Lemoine.

Dans un triangle nommé ABC, la médiane issue du sommet A est la droite passant par A et par le milieu du côté opposé BC. La bissectrice intérieure en A partage l'angle formé par les côtés AB et AC en deux angles égaux. La réflexion de la médiane autour de cette bissectrice produit la symédiane issue de A. Les deux droites sont dites isogonales : elles forment, dans l'ordre inverse, les mêmes angles avec AB et AC.

Un critère permet de reconnaître cette droite sans effectuer la réflexion. Si la symédiane issue de A coupe le côté BC au point D, alors le rapport des deux segments de BC est le carré du rapport des côtés adjacents au sommet A : $\frac{BD}{DC}={\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2\backslash frac\{BD\}\{DC\}=\backslash left(\backslash frac\{AB\}\{AC\}\backslash right)^2$. Cette relation suppose un triangle non dégénéré et un point D appartenant au segment [BC].

On définit de la même manière les symédianes issues de B et de C. Ces trois droites sont concourantes : leur unique point commun est le point de Lemoine, aussi appelé point symédian du triangle. La figure associée rend visible cette concurrence dans un triangle rectangle précis.

Données. Dans un repère orthonormé, on choisit le triangle dont les sommets sont A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 3). L'angle en A est droit. On cherche la symédiane issue de A et son point d'intersection D avec BC.

1. Le milieu M de BC a pour coordonnées M(3 ; 3/2). La médiane AM a donc pour équation $y=\frac{x}{2}y=\backslash frac\{x\}\{2\}$.
2. La bissectrice intérieure de l'angle droit en A a pour équation $y=xy=x$. La réflexion de la direction de AM autour de cette droite échange ses deux composantes : une direction (2 ; 1) devient (1 ; 2). La symédiane a donc pour équation $y=2xy=2x$.
3. La droite BC a pour équation $y=3-\frac{x}{2}y=3-\backslash frac\{x\}\{2\}$. En résolvant les deux équations, on obtient D(6/5 ; 12/5).
4. Le contrôle utilise les longueurs AB = 6 et AC = 3. Le point D partage BC selon BD/DC = 4, qui est bien égal à (AB/AC)² = (6/3)² = 4.

Les deux méthodes, réflexion angulaire et rapport de longueurs, désignent donc la même droite. En construisant de même les deux autres symédianes, leur point commun est K(3/5 ; 6/5).

Dans une construction à la règle et au compas, on trace d'abord la médiane et la bissectrice intérieure d'un même sommet, puis on reporte de l'autre côté de la bissectrice l'angle formé par ces deux droites. Ce geste fournit la symédiane sans calcul de longueurs.

Lorsqu'un point est déjà placé sur le côté opposé, le rapport des segments est souvent plus pratique. Si ce rapport égale le carré du rapport des deux côtés adjacents, la droite reliant le sommet au point est la symédiane.

Dans un problème de concours de droites, les trois symédianes servent à localiser le point de Lemoine. Si les milieux des côtés sont au contraire les données centrales, les médianes et leur centre de gravité constituent l'outil adapté.

Médiane. Elle joint un sommet au milieu du côté opposé, donc elle partage ce côté en deux segments égaux. Dans l'exemple, la médiane issue de A passe par M(3 ; 3/2), tandis que la symédiane passe par D(6/5 ; 12/5).

Bissectrice. Elle partage l'angle du sommet en deux angles égaux. Elle sert d'axe de réflexion entre la médiane et la symédiane, mais elle n'est généralement aucune de ces deux droites.

Hauteur. Elle passe par un sommet et est perpendiculaire à la droite portant le côté opposé. Le critère de la symédiane porte sur une réflexion angulaire ou sur un rapport de segments au carré, et non sur un angle droit avec ce côté.

Triangle isocèle au sommet considéré. Si AB = AC, la médiane issue de A est aussi la bissectrice intérieure. Sa réflexion ne la déplace donc pas : médiane et symédiane issues de A sont confondues. Ce cas particulier ne permet pas de les distinguer dans la représentation.

Triangle équilatéral. Le même phénomène se produit aux trois sommets. Les médianes, bissectrices, hauteurs et symédianes coïncident deux à deux, et le point de Lemoine se confond notamment avec le centre de gravité.

Figure presque dégénérée. Lorsque les trois sommets sont presque alignés, une construction graphique des angles devient très sensible aux erreurs de tracé. Il faut alors travailler avec des coordonnées ou des rapports exacts. Si les sommets sont alignés, il n'y a plus de triangle non dégénéré et la définition ne s'applique pas.

Segment au lieu de droite. La symédiane est une droite entière. Son intersection avec le côté opposé est utile à la construction, mais le segment joignant le sommet à ce côté n'est qu'une portion de la symédiane.

Le point de Lemoine prolonge naturellement l'étude : sa fiche permet d'examiner le centre déterminé par la concurrence des trois symédianes.