théorème de Stewart

Dans un triangle, tracez un segment depuis un sommet jusqu’à un point du côté opposé. Ce segment est une cévienne. Le théorème de Stewart relie sa longueur aux trois côtés du triangle et aux deux morceaux du côté qu’elle rejoint.

L’idée est celle d’une balance : chaque côté issu du sommet est pondéré par le morceau situé à l’extrémité opposée à ce côté. Si cinq longueurs sont connues, la relation détermine la sixième.

Considérons un triangle ABC et un point A′ situé sur le segment [BC]. La cévienne issue de A est le segment [AA′]. On note a la longueur BC, b la longueur CA, c la longueur AB et d la longueur AA′. On note aussi n la longueur BA′ et m la longueur CA′ ; ainsi, a = m + n.

Avec ces définitions, le théorème de Stewart s’écrit $b^{2}n+c^{2}m=a(d^2+mn)b^2n+c^2m=a\backslash left(d^2+mn\backslash right)$. Chaque carré d’un côté issu de A est multiplié par le morceau situé à l’extrémité opposée sur [BC] : b² par BA′ = n et c² par CA′ = m. La relation peut être résolue pour d, mais aussi pour une autre longueur si les cinq restantes sont compatibles avec un triangle.

Si A′ est le milieu de [BC], alors m = n = a/2 : la cévienne est une médiane et la relation devient le théorème de la médiane, aussi appelé théorème d’Apollonius. La formule change d’apparence lorsque les lettres m et n sont attribuées dans l’ordre inverse ; il faut donc toujours relire leur définition géométrique.

Si A′ appartient au côté [BC] d’un triangle ABC, si a = BC, b = CA, c = AB, d = AA′, n = BA′ et m = CA′, alors :

Pour obtenir la longueur de la cévienne, on isole son carré : $d^2=\frac{b^{2}n+c^{2}m}{a}-mnd^2=\backslash frac\{b^2n+c^2m\}\{a\}-mn$, puis on prend la racine carrée positive.

Le théorème s’applique dans un triangle euclidien non dégénéré. Le point A′ doit être identifié sur le segment [BC], les longueurs m = CA′ et n = BA′ doivent être non négatives, et leur somme doit valoir a = BC. Pour calculer d = AA′, il faut aussi connaître b = CA et c = AB.

Si l’on annonce par exemple BC = 7, BA′ = 3 et CA′ = 5, le point ne peut pas partager [BC] ainsi, car 3 + 5 ≠ 7. Le calcul de Stewart est alors bloqué : il faut corriger la position ou l’une des longueurs. Si le point se trouve hors du côté, cette version du théorème ne s’applique pas ; un calcul par coordonnées ou une relation à longueurs orientées est nécessaire.

Dans le triangle ABC, les données sont AB = 5 cm, AC = 6 cm et BC = 7 cm. Le point A′ partage [BC] en BA′ = 3 cm et CA′ = 4 cm. Nous cherchons la longueur d = AA′.

1. Nous contrôlons le partage du côté : 3 + 4 = 7. La construction associe donc bien les deux morceaux au côté BC.

2. Avec a = 7, b = 6, c = 5, n = 3 et m = 4, la relation donne $6^2\times 3+5^2\times 4=7(d^2+3\times 4)6^2\backslash times3+5^2\backslash times4=7\backslash left(d^2+3\backslash times4\backslash right)$.

3. Le membre de gauche vaut 108 + 100 = 208. Ainsi, 208 = 7d² + 84, puis 7d² = 124 et d² = 124/7 cm².

4. La longueur cherchée est donc $d=\sqrt{\frac{124}{7}}\mathrm{c}\mathrm{m}\approx \mathrm{4,21}\mathrm{c}\mathrm{m}d=\backslash sqrt\{\backslash frac\{124\}\{7\}\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}\backslash approx4\{,\}21\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}$. Pour contrôler, 7 × (124/7 + 12) = 124 + 84 = 208, exactement comme le membre de gauche.

Dans un exercice, Stewart est utile lorsqu’une droite issue d’un sommet coupe le côté opposé en deux longueurs connues. On inscrit d’abord ces deux morceaux près de leurs extrémités pour éviter de les intervertir.

Si la cévienne est une médiane, le théorème de la médiane offre une écriture plus courte. Si un triangle rectangle fournit déjà l’hypoténuse et un côté, le théorème de Pythagore est généralement plus direct.

Stewart sert aussi de contrôle de cohérence. Une valeur d² < 0 ou un partage dont les deux morceaux ne totalisent pas BC signale des données incompatibles, et non une longueur à interpréter.

Une cévienne rejoint un sommet à n’importe quel point du côté opposé. Une médiane est une cévienne particulière : son point d’arrivée partage ce côté en deux longueurs égales. Dans l’exemple, 3 cm et 4 cm sont différents ; [AA′] n’est donc pas une médiane.

Une bissectrice partage un angle en deux angles égaux, tandis que Stewart ne suppose aucune égalité d’angles. Pour trancher, on observe la donnée fournie : égalité des angles pour la bissectrice, longueurs sur le côté opposé pour l’application directe de Stewart.

Le piège principal est l’ordre des deux morceaux. Avec b = CA et c = AB, le carré b² est multiplié par BA′, tandis que c² est multiplié par CA′. Le symptôme est un résultat différent après échange des noms ; le remède est de repartir des extrémités, pas de mémoriser une suite de lettres.

Aux cas charnières BA′ = 0 ou CA′ = 0, le point A′ coïncide avec B ou C. La relation reste cohérente, mais la « cévienne » est alors simplement un côté du triangle ; il ne faut pas présenter ce segment comme une découpe intérieure.

Une valeur calculée d² < 0 révèle des données impossibles dans ce cadre euclidien. Il ne faut pas prendre la racine d’une valeur négative ni arrondir avant la fin : on vérifie d’abord m + n = a et les inégalités du triangle, puis on conserve la valeur exacte de d² jusqu’à la racine.

La fiche cévienne précise le vocabulaire des segments issus d’un sommet et situe médianes, hauteurs et bissectrices dans cette famille.

Le théorème de la médiane développe le cas m = n : la formule de Stewart se simplifie lorsque A′ est le milieu de [BC].