GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de la médiane
Le théorème de la médiane, aussi appelé théorème d'Apollonius, relie la longueur d'une médiane d'un triangle aux longueurs de ses côtés. Dans le triangle ABC, si I désigne le milieu de [BC] et AI la médiane issue de A, la formule d'Apollonius de Perge s'écrit : AB² + AC² = 2·AI² + BC²/2. Elle permet de calculer la longueur de la médiane lorsque les longueurs des trois côtés sont connues. Les formulations vectorielle et scalaire, le lieu géométrique et l'autre théorème d'Apollonius sont présentés plus loin comme des approfondissements.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses du théorème et les trois longueurs nécessaires.
- Calculer la longueur d’une médiane avec la formule d’Apollonius.
- Contrôler le résultat sur un triangle de côtés 13, 14 et 15.
- Interpréter les formulations vectorielle et scalaire sans confondre les signes.
- Distinguer ce résultat du théorème d’Apollonius sur les sections coniques.
En clair
Tracez un triangle, puis marquez le milieu d’un côté. Le segment qui relie ce milieu au sommet opposé est une médiane. Même sans mesurer directement cette médiane, les trois côtés suffisent pour retrouver sa longueur.
Le théorème de la médiane traduit cet équilibre : la somme des carrés des deux côtés issus du sommet se partage entre deux fois le carré de la médiane et la moitié du carré du côté coupé en deux.
Définition
Le théorème de la médiane, ou théorème d’Apollonius, est une identité de géométrie euclidienne. Dans un triangle dont les sommets sont A, B et C, le point I est le milieu du segment [BC] et le segment [AI] est la médiane issue de A. Les vecteurs allant de A vers B, de A vers C et de A vers I vérifient .
Pour les longueurs, la formule d’Apollonius s’écrit . Le produit scalaire des vecteurs allant de A vers B et de A vers C vaut . Si H est le pied de la hauteur issue de A sur la droite (BC), une autre identité est . Elle donne, avec des longueurs non orientées, |AB² − AC²| = 2·BC·IH.
Appliquée à un point variable M et au milieu I de [BC], la formule décrit les points pour lesquels MB² + MC² reste constant : lorsqu’ils existent sous forme non dégénérée, ils forment un cercle de centre I. Le nom « théorème d’Apollonius » désigne aussi un résultat distinct qui classe les sections d’un cône en ellipse ou cercle, parabole et hyperbole.
Le principe
Si A, B et C sont les sommets d’un triangle et si I est le milieu de [BC], alors la médiane [AI] vérifie la formule d’Apollonius : . Autrement dit, les carrés des trois côtés déterminent le carré de la médiane : . Dans le triangle de côtés 13, 14 et 15, la médiane issue de A rejoint le milieu I du côté de longueur 14.
Quand l'utiliser
La formule s’applique à un triangle euclidien dès que trois longueurs sont connues : les deux côtés issus du sommet considéré et le côté opposé. Ces longueurs doivent former un triangle non dégénéré. Le point I doit être exactement le milieu de ce côté opposé. Les vecteurs doivent aussi garder l’orientation indiquée par leurs deux lettres. La conclusion fournit la longueur de la médiane ou permet de contrôler une longueur déjà mesurée.
Dans le triangle de côtés AB = 13, AC = 15 et BC = 14, un point J placé à 6 unités de B et à 8 unités de C n’est pas le milieu de [BC]. On obtient AJ² = 145, mais 2·AJ² + BC²/2 = 388, au lieu de AB² + AC² = 394. Le constat signale que [AJ] n’est pas une médiane : il faut d’abord placer I à 7 unités de B et de C, puis appliquer le théorème.
Un exemple, pas à pas
Considérons un triangle ABC dont les longueurs sont AB = 13 cm, AC = 15 cm et BC = 14 cm. Le point I est le milieu de [BC], donc BI = IC = 7 cm. On cherche la longueur de la médiane [AI].
1. Les carrés des côtés valent AB² = 169 cm², AC² = 225 cm² et BC² = 196 cm².
2. La formule d’Apollonius donne , soit 394 = 2·AI² + 98.
3. On isole le carré de la médiane : 2·AI² = 296, puis AI² = 148 cm². Ainsi, .
4. Un contrôle indépendant consiste à abaisser la hauteur [AH]. Dans ce triangle, AH = 12 cm et BH = 5 cm ; comme BI = 7 cm, IH = 2 cm. Le triangle rectangle AHI donne AI² = 12² + 2² = 148 cm². Le même résultat confirme le calcul de la médiane.
En pratique
Quand les trois côtés d’un triangle sont connus mais que la médiane est difficile à mesurer, la formule d’Apollonius calcule sa longueur. Une construction ou une mesure directe reste préférable si le milieu du côté n’est pas identifié avec certitude.
Pour étudier les points M tels que MB² + MC² garde une valeur fixée, on place le milieu I de [BC]. L’identité transforme la condition en une distance MI constante : le lieu est alors un cercle centré en I, sous réserve que son rayon soit strictement positif.
Quand un problème donne des angles ou des directions plutôt que trois longueurs, la version par produit scalaire est souvent la plus directe. La formule métrique reste plus naturelle lorsque seules les longueurs des côtés sont disponibles.
À ne pas confondre
Une médiane d’un triangle est le segment joignant un sommet au milieu du côté opposé. Le théorème de la médiane est l’égalité qui relie la longueur de ce segment aux trois côtés. Tracer [AI] nomme donc la médiane ; vérifier AB² + AC² = 2·AI² + BC²/2 mobilise le théorème.
Le théorème d’Apollonius sur les coniques est un homonyme. Pour un cône de révolution coupé par un plan (q), on considère le plan Π passant par le sommet et parallèle à (q). Si Π contient zéro, une ou deux génératrices du cône, la section est respectivement une ellipse ou un cercle, une parabole, ou une hyperbole. Ce critère ne calcule aucune médiane de triangle.
Limites et pièges
Dans l’écriture par produit scalaire, le point entre et ne signifie pas le produit des longueurs AB et AC. Il tient compte de l’angle entre les vecteurs. Il faut donc conserver les flèches ou nommer explicitement le produit scalaire.
Pour le lieu des points M, si la constante vaut S, alors . Un cercle non dégénéré existe seulement si S > BC²/2. Au seuil S = BC²/2, le lieu se réduit au seul point I ; en dessous, aucun point réel ne convient.
Dans la relation avec le pied H de la hauteur, le produit est orienté et peut être négatif. Pour n’utiliser que les longueurs BC et IH, il faut prendre la valeur absolue : |AB² − AC²| = 2·BC·IH. Dans l’exemple 13–14–15, le côté de 15 cm étant le plus long des deux côtés issus de A, AB² − AC² = −56 cm², tandis que 2·BC·IH = 56 cm².
Si B et C se confondent, BC = 0 et le « côté opposé » est réduit à un point : la figure n’est plus un triangle ordinaire. L’identité vectorielle subsiste avec I = B = C, mais elle ne doit pas être présentée comme une construction de médiane dans un triangle non dégénéré.
Pour aller plus loin
Le produit scalaire éclaire les deux identités orientées du théorème et le rôle de l’angle entre deux vecteurs.
L’ellipse précise l’une des sections obtenues quand le nom d’Apollonius renvoie au théorème sur les coniques.
La parabole développe le cas où le plan parallèle passant par le sommet contient une génératrice du cône.
L’hyperbole développe le cas où ce même plan parallèle contient deux génératrices du cône.
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