triangle orthique

Tracez un triangle aux trois angles aigus, puis abaissez depuis chaque sommet une droite perpendiculaire au côté opposé. Les trois points où ces hauteurs touchent les côtés forment un nouveau triangle, niché dans le premier : le triangle orthique.

Ce petit triangle n’est pas choisi au hasard. Parmi tous les triangles ayant un sommet sur chacun des trois côtés, c’est lui qui offre le trajet fermé le plus court.

Soit un triangle non aplati ABC. Le pied A′ de la hauteur issue de A est la projection perpendiculaire de A sur la droite portant le côté BC. On définit de même B′ sur la droite AC et C′ sur la droite AB. Lorsque ces trois pieds sont distincts, le triangle A′B′C′ est le triangle orthique de ABC. Cette définition repose sur les droites supports des côtés ; dans un triangle acutangle, les trois pieds appartiennent effectivement aux côtés.

Les trois hauteurs se coupent en l’orthocentre H. Si ABC est acutangle, H est intérieur et les droites AA′, BB′ et CC′ sont les bissectrices intérieures des angles du triangle orthique situés respectivement en A′, B′ et C′.

Sous cette même hypothèse d’angles aigus, le théorème de Fagnano affirme que A′B′C′ a le plus petit périmètre parmi les triangles inscrits ayant un sommet sur chacun des côtés de ABC. L’hypothèse est essentielle : pour un triangle rectangle, deux pieds se confondent ; pour un triangle obtusangle, deux pieds se trouvent sur des prolongements de côtés.

La construction part de trois sommets, A, B et C, et des trois droites qui portent les côtés. Chaque sommet détermine une hauteur, perpendiculaire à la droite du côté opposé. Le pied A′ dépend ainsi du sommet A et de la droite BC ; B′ dépend de B et de AC ; C′ dépend de C et de AB.

Les segments A′B′, B′C′ et C′A′ ferment le triangle orthique. Leur tracé dépend uniquement de la forme du triangle ABC : une translation, une rotation ou un changement d’échelle conserve la construction, à la taille près. La couleur, l’orientation de la feuille et l’épaisseur des traits ne la définissent pas. Ces six relations de perpendicularité et d’incidence suffisent à construire les trois pieds, puis à calculer les longueurs et le périmètre de A′B′C′.

Dans un repère orthonormé, on prend A de coordonnées (0, 0), B de coordonnées (6, 0) et C de coordonnées (2, 4). Les longueurs sont exprimées dans l’unité du repère.

1. Les produits scalaires des deux côtés issus de A, B puis C valent respectivement 12, 24 et 8. Ils sont positifs : les trois angles sont aigus.
2. Les projections perpendiculaires donnent les trois pieds :3. Les longueurs des côtés du triangle orthique sont alors :4. Son périmètre exact est donc :

La figure matérialise les trois projections, leur point de concours H de coordonnées (2, 2) et le triangle orthique blanc formé par les pieds.

Le contrôle se refait sans mesurer le dessin : A′ appartient à BC et le produit scalaire des vecteurs BC et AA′ vaut 0. Les deux autres pieds satisfont de même les conditions d’appartenance et de perpendicularité. Comme ABC est acutangle, le théorème de Fagnano garantit que 12√10/5 est le périmètre minimal recherché.

Construire à la règle et à l’équerre. Depuis chaque sommet, on trace la perpendiculaire au côté opposé et l’on relie les trois pieds. Si un pied sort du segment, on prolonge le côté : le triangle de départ n’est alors pas acutangle.

Chercher un trajet inscrit minimal. Dans un triangle aux trois angles aigus, on choisit le triangle orthique pour minimiser la somme des trois segments reliant successivement les côtés. Si un angle est droit ou obtus, le résultat de Fagnano sous cette forme ne s’applique pas.

Contrôler une construction dynamique. Dans un logiciel de géométrie, on déplace un sommet et l’on vérifie que chaque pied reste sur la droite opposée et forme un angle droit. Cette vérification est plus fiable qu’un placement estimé à l’œil.

Triangle pédal. Le triangle pédal d’un point quelconque relie les projections de ce point sur les trois droites des côtés. Il devient le triangle orthique lorsque le point choisi est l’orthocentre.

Triangle médian. Ses sommets sont les milieux des côtés, sans condition de perpendicularité. Dans un triangle scalène comme l’exemple A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4), le pied A′=(3, 3) n’est pas le milieu de BC=(4, 2).

Triangle de contact. Ses sommets sont les points de tangence du cercle inscrit avec les trois côtés. Le critère est la tangence au cercle, tandis que le triangle orthique se reconnaît aux trois hauteurs.

Angle droit. Si ABC est rectangle en A, les pieds des hauteurs issues de B et de C sont tous deux A. Deux sommets du triangle orthique coïncident : il est dégéné, et l’énoncé de Fagnano pour un triangle inscrit non dégéré ne s’emploie pas.

Angle obtus. Deux hauteurs rencontrent les prolongements des côtés plutôt que les segments eux-mêmes. Les trois pieds restent constructibles sur les droites supports, mais leur triangle n’est pas inscrit dans ABC ; la conclusion minimale réservée au cas acutangle ne suit plus.

Triangle presque rectangle. Quand un angle approche 90°, deux pieds deviennent très proches. Un dessin peu précis peut les faire paraître confondus ; il faut contrôler les perpendicularités ou calculer les projections au lieu de conclure visuellement.

Notation des pieds. Certaines sources nomment les pieds D, E et F plutôt que A′, B′ et C′. Il faut suivre la correspondance « sommet de départ → pied sur le côté opposé », et non la seule lettre.

Orthocentre — Situer le point commun aux trois hauteurs et comprendre son rôle dans la construction orthique.

triangle acutangle — Reconnaître l’hypothèse qui place les trois pieds sur les côtés et rend le théorème de Fagnano applicable.

bissectrice intérieure — Approfondir la propriété des hauteurs, qui partagent les angles du triangle orthique en deux angles égaux.