GéométrieNotion · Glossaire
Orthocentre
L'orthocentre d'un triangle est le point d'intersection des trois hauteurs du triangle. Son existence résulte du fait que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Dans un triangle rectangle, l'orthocentre coïncide avec le sommet de l'angle droit. Dans un triangle obtusangle, l'orthocentre est situé à l'extérieur du triangle. L'orthocentre fait partie des points remarquables du triangle avec le centre de gravité, le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir une hauteur et l'orthocentre sans confondre droite et segment.
- Construire l'orthocentre avec deux hauteurs et contrôler le résultat avec la troisième.
- Situer l'orthocentre dans les triangles acutangle, rectangle et obtusangle.
- Distinguer l'orthocentre des trois autres centres remarquables cités.
En clair
Tracez un triangle, puis une droite passant par un sommet et formant un angle droit avec le côté opposé. Cette droite est une hauteur. Recommencez depuis un deuxième sommet : les deux hauteurs se coupent en un point. La hauteur issue du troisième sommet passe elle aussi par ce point.
Ce point commun est l'orthocentre. Selon la forme du triangle, il se trouve à l'intérieur, sur un sommet ou à l'extérieur.
Définition
Dans un triangle non aplati, une hauteur est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire à la droite portant le côté opposé. Le pied de la hauteur est le point où ces deux droites se rencontrent. Lorsque le triangle est obtusangle, ce pied peut se situer sur le prolongement du côté plutôt que sur le segment lui-même.
Les trois hauteurs sont concourantes : elles passent par un unique point, appelé orthocentre. Deux hauteurs suffisent donc pour le construire ; la troisième sert de contrôle. Dans un triangle acutangle, l'orthocentre est intérieur. Dans un triangle rectangle, deux côtés sont déjà des hauteurs et leur intersection est le sommet de l'angle droit. Dans un triangle obtusangle, il est extérieur.
L'orthocentre est l'un des points remarquables du triangle. Il ne se définit toutefois ni par les médianes, ni par les médiatrices, ni par les bissectrices, qui déterminent d'autres centres.
Un exemple, pas à pas
Considérons le triangle dont les sommets sont A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(2 ; 4). Les coordonnées sont exprimées dans un repère orthonormé. Le côté AB est horizontal, tandis que la droite AC a pour pente 2 et la droite BC pour pente −1.
1. La hauteur issue de C est perpendiculaire au côté horizontal AB. Elle est donc verticale et a pour équation .
2. La hauteur issue de B est perpendiculaire à AC. Sa pente vaut −1/2 et son équation est . Pour x = 2, elle donne y = 2. Les deux hauteurs se rencontrent donc au point H(2 ; 2).
3. Pour contrôler le résultat, la hauteur issue de A doit être perpendiculaire à BC. Comme la pente de BC vaut −1, cette hauteur a pour équation . Le point H(2 ; 2) vérifie bien cette équation : les trois hauteurs y sont concourantes.
En pratique
Sur une figure, construisez deux perpendiculaires passant chacune par un sommet. Leur intersection donne l'orthocentre. Tracez la troisième hauteur si vous souhaitez contrôler la précision de la construction.
Dans un repère, écrivez les équations de deux côtés, puis celles de leurs perpendiculaires issues des sommets opposés. Cette méthode est préférable au tracé lorsque des coordonnées exactes sont demandées.
Avant tout calcul, observez les angles. Si le triangle est rectangle, le sommet de l'angle droit est immédiatement l'orthocentre. S'il est obtusangle, prolongez les côtés : chercher seulement à l'intérieur ferait manquer le point de concours.
À ne pas confondre
Centre de gravité. Il est l'intersection des médianes, qui joignent un sommet au milieu du côté opposé. Dans le triangle A(0 ; 0), B(6 ; 0), C(2 ; 4), une médiane n'est pas nécessairement perpendiculaire au côté : ce critère la distingue d'une hauteur.
Centre du cercle circonscrit. Il est l'intersection des médiatrices des côtés et se trouve à égale distance des trois sommets. Une médiatrice passe par le milieu d'un côté ; une hauteur passe par le sommet opposé.
Centre du cercle inscrit. Il est l'intersection des bissectrices des angles et se trouve à égale distance des trois côtés. Le partage d'un angle en deux, et non la perpendicularité à un côté, fournit le critère décisif.
Limites et pièges
Triangle rectangle. L'orthocentre n'est pas un point intérieur distinct : il coïncide avec le sommet de l'angle droit. Il faut reconnaître que les deux côtés perpendiculaires sont déjà deux hauteurs.
Triangle obtusangle. Les hauteurs issues des sommets aigus rencontrent les prolongements des côtés opposés. Si les segments tracés ne se croisent pas dans le triangle, il faut prolonger les droites : l'orthocentre se trouve à l'extérieur.
Trois points alignés. Ils forment un triangle aplati, exclu de la définition usuelle. Les perpendiculaires menées par les trois points à leur droite commune sont parallèles ; elles ne déterminent donc aucun orthocentre unique.
Dessin imprécis. Trois hauteurs tracées à la main peuvent sembler former un petit triangle au lieu d'un point. Il faut construire deux perpendiculaires avec précision, puis utiliser la troisième comme contrôle de concurrence.
Pour aller plus loin
Le centre de gravité permet de comparer le concours des médianes avec celui des hauteurs.
Le centre du cercle circonscrit montre comment les médiatrices déterminent un autre point remarquable du triangle.
Le cercle inscrit relie les bissectrices au centre équidistant des trois côtés.
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