droite d'Euler

Tracez un triangle un peu irrégulier, puis placez trois de ses centres : celui du cercle qui passe par les sommets, le point d'équilibre et le point de rencontre des hauteurs. Ces trois points, appelés O, G et H, tombent sur une même droite. C'est la droite d'Euler.

Leur ordre n'est pas quelconque : G se situe entre O et H, trois fois moins loin de O que H. Le milieu de O et H est aussi le centre du cercle des neuf points.

La droite d'Euler est la droite commune à trois centres d'un triangle : le centre O du cercle circonscrit, le centre de gravité G et l'orthocentre H. Le cercle circonscrit passe par les trois sommets. Le centre de gravité est l'intersection des médianes, tandis que l'orthocentre est l'intersection des hauteurs.

Pour tout triangle non dégénéré et non équilatéral, ces points déterminent une droite unique. Le point G appartient au segment OH et partage ce segment dans un rapport constant : $GH=2OGGH=2\backslash ,OG$. De façon équivalente, G se trouve au tiers du trajet de O vers H. Le centre N du cercle des neuf points est le milieu de OH ; il appartient donc lui aussi à la droite d'Euler.

Dans un triangle équilatéral, O, G et H coïncident. Leur alignement reste vrai au sens où les trois points sont confondus, mais ils ne déterminent alors aucune droite unique. Un triangle aplati, dont les sommets sont alignés, est dégénéré et sort du domaine de cette définition.

Quatre points structurent la configuration. Le circoncentre O est obtenu par les médiatrices des côtés. Le centre de gravité G est obtenu par les médianes. L'orthocentre H est obtenu par les hauteurs. Enfin, le centre N du cercle des neuf points est le milieu du segment OH.

Les constructions dépendent du même triangle : déplacer un sommet modifie les quatre centres. Hors du cas équilatéral, une fois O et H connus, leur droite donne la droite d'Euler, leur milieu donne N et le point situé au tiers de O vers H donne G. La couleur, l'épaisseur ou la longueur visible du tracé ne définissent pas l'objet ; seuls l'alignement et les positions relatives des centres comptent. La figure rend ces dépendances visibles sur un triangle rectangle précis.

Considérons le triangle rectangle dont les sommets sont A de coordonnées (0, 0), B de coordonnées (6, 0) et C de coordonnées (0, 8). Les coordonnées sont exprimées dans un repère orthonormé.

1. L'angle droit est en A. Son orthocentre H est donc le sommet A : H = (0, 0).

2. Dans un triangle rectangle, le circoncentre O est le milieu de l'hypoténuse BC. La moyenne des coordonnées de B et C donne O = (3, 4).

3. Le centre de gravité G a pour coordonnées les moyennes de celles des trois sommets : $G=(\frac{0+6+0}{3},\frac{0+0+8}{3})=(2,\frac{8}{3})G=\backslash left(\backslash frac\{0+6+0\}\{3\},\backslash frac\{0+0+8\}\{3\}\backslash right)=\backslash left(2,\backslash frac\{8\}\{3\}\backslash right)$.

4. Le vecteur allant de O à G vaut (−1, −4/3), tandis que celui allant de G à H vaut (−2, −8/3). Le second est exactement le double du premier : O, G et H sont alignés et GH = 2 × OG.

5. Le milieu N de O et H vaut (3/2, 2). Ce point appartient au même segment. Pour contrôler les longueurs, OG = 5/3 et GH = 10/3 : le rapport annoncé vaut bien 2.

Sur une figure géométrique, la droite d'Euler sert à contrôler la position de plusieurs centres. Après avoir construit O et H, on trace leur droite : G doit s'y placer au tiers de O vers H. Si l'on cherche seulement un centre isolé, sa construction directe par médiatrices, médianes ou hauteurs est plus appropriée.

Dans un repère, les coordonnées rendent le contrôle exact. On calcule G par la moyenne des coordonnées des sommets, puis on compare les vecteurs OG et GH. Cette méthode est préférable à une lecture à la règle lorsque le dessin est imprécis.

Pour situer le centre du cercle des neuf points, il suffit de prendre le milieu de O et H. Une construction complète du cercle reste nécessaire si l'on veut aussi obtenir son rayon ou ses points de passage.

La droite d'Euler n'est pas le cercle d'Euler, autre nom du cercle des neuf points. La première est rectiligne et porte O, G, H et le centre N ; le second est un cercle centré en N. Dans l'exemple, N appartient à la droite, mais le cercle ne se réduit pas à cette droite.

La droite d'Euler n'est pas définie comme une médiane du triangle. Une médiane joint un sommet au milieu du côté opposé, tandis que la droite d'Euler est définie par des centres. Dans l'exemple rectangle, les deux droites coïncident : H est le sommet de l'angle droit et O le milieu de l'hypoténuse. Cette coïncidence ne rend pas les deux notions identiques.

Dans un triangle équilatéral, O, G et H sont confondus. Trois points identiques n'imposent pas une droite unique : il faut signaler ce cas au lieu de prétendre construire une direction privilégiée.

Si les trois sommets sont alignés, le triangle est dégénéré. Le cercle circonscrit et son centre O ne sont pas définis comme pour un véritable triangle ; la droite d'Euler décrite ici ne s'applique donc pas.

Un tracé épais ou des constructions approchées peuvent faire paraître les centres légèrement désalignés. Il faut alors contrôler les coordonnées ou les rapports vectoriels, plutôt que d'exiger une superposition parfaite à l'œil. Le rapport 2 porte sur les longueurs GH et OG, pas sur la taille apparente des marques.

Le centre de gravité précise la construction et le rôle du point G, qui partage le segment OH dans le rapport 1 pour 2.

L'article sur l'Orthocentre approfondit le point H, obtenu par l'intersection des hauteurs du triangle.

Le cercle des neuf points prolonge la configuration autour de son centre N, milieu du segment OH.