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centre du cercle des neuf points
Dans tout triangle non dégénéré, le centre du cercle des neuf points est le milieu du segment joignant le centre du cercle circonscrit à l’orthocentre. Il permet de construire le cercle qui passe par les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments reliant l’orthocentre aux sommets ; son rayon vaut la moitié du rayon circonscrit.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer le centre E comme milieu du segment joignant O à H.
- Identifier les trois familles de points du cercle des neuf points.
- Construire et contrôler E sur un triangle donné par ses coordonnées.
- Distinguer E du centre circonscrit, de l'orthocentre et du centre de gravité.
- Traiter les triangles équilatéraux, rectangles et le cas dégénéré.
En clair
Dans un triangle, marquez les trois milieux des côtés et les trois points où arrivent les hauteurs. Ajoutez les trois milieux situés entre chaque sommet et le point de rencontre des hauteurs. Ces neuf emplacements se trouvent sur un même cercle.
Le centre de ce cercle, noté E dans cette fiche, se repère sans reconstruire le cercle : il est exactement à mi-chemin entre le centre O du cercle circonscrit et l'orthocentre H.
Définition
Dans un triangle non dégénéré, le cercle des neuf points passe par trois familles de points : les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments reliant chaque sommet à l'orthocentre. Son centre est appelé centre du cercle des neuf points et noté E ici. D'autres ouvrages emploient souvent la lettre N.
Soit O le centre du cercle circonscrit, G le centre de gravité et H l'orthocentre. Ces quatre centres sont alignés sur la droite d'Euler, sauf dans le triangle équilatéral où ils sont confondus. Le point E est le milieu du segment [OH]. Le rayon du cercle des neuf points vaut la moitié du rayon du cercle circonscrit.
Deux homothéties expliquent la construction. Celle de centre H et de rapport 1/2 envoie le cercle circonscrit sur le cercle des neuf points. Celle de centre G et de rapport −1/2 produit le même cercle. Sur la droite d'Euler, la relation entraîne .
De quoi c'est fait
La construction part d'un triangle et de quatre éléments liés. Les trois hauteurs déterminent leur point commun H, l'orthocentre. Les médiatrices des côtés déterminent O, centre du cercle circonscrit. Le segment [OH] donne alors E par son milieu.
Les neuf points se répartissent en trois triplets : trois milieux de côtés, trois pieds de hauteurs et trois milieux des segments joignant H aux sommets. Les deux premiers triplets dépendent des côtés et des hauteurs; le troisième dépend directement de H. Tous sont à la même distance de E.
La figure rend ces dépendances visibles sur le triangle ABC de l'exemple. La forme, l'orientation ou l'échelle du dessin ne définissent pas le cercle : seules les incidences, les milieux et les perpendicularités comptent.
Un exemple, pas à pas
Prenons le triangle de sommets A(0, 0), B(8, 0) et C(2, 6), dans un repère orthonormé. Les données sont donc les trois sommets; toutes les coordonnées suivantes en découlent.
1. La hauteur issue de C est la droite x = 2. La hauteur issue de A a pour équation y = x. Leur intersection donne l'orthocentre H(2, 2).
2. La médiatrice de [AB] est x = 4. Son intersection avec la médiatrice de [AC] donne le centre circonscrit O(4, 2).
3. Le milieu de [OH] est E(3, 2). Les milieux des côtés sont (4, 0), (5, 3) et (1, 3). Les pieds des hauteurs sont (2, 0), (4, 4) et (0,8 ; 2,4). Les milieux entre H et les sommets sont (1, 1), (5, 1) et (2, 4).
4. Pour chacun de ces neuf points, le carré de la distance à E vaut 5. Ils appartiennent donc au cercle de centre E et de rayon √5. Ce contrôle vérifie à la fois le centre, le rayon et les neuf incidences.
En pratique
Pour construire le cercle, il suffit de repérer deux de ses neuf points et son centre E, milieu de [OH]. Cette voie est préférable au tracé d'un cercle par trois points lorsque O et H sont déjà connus.
Pour vérifier un dessin, on contrôle que les milieux des côtés et les pieds des hauteurs sont à la même distance de E. Si une distance diffère, une hauteur ou un milieu a probablement été mal placé.
Pour obtenir le rayon, on peut mesurer la moitié du rayon circonscrit. C'est plus direct que de recalculer la distance entre E et l'un des neuf points lorsque le cercle circonscrit est déjà construit.
À ne pas confondre
Le centre du cercle des neuf points n'est pas le centre O du cercle circonscrit. Dans l'exemple, E(3, 2) et O(4, 2) sont distincts; le rayon √5 est aussi la moitié du rayon circonscrit 2√5.
Il ne faut pas non plus confondre E avec l'orthocentre H. Le point H est l'intersection des hauteurs, tandis que E est le milieu de [OH]. Dans l'exemple, H(2, 2) et E(3, 2) tranchent la distinction.
Enfin, le centre de gravité G est l'intersection des médianes. Il appartient lui aussi à la droite d'Euler, mais sa définition ne fait intervenir ni hauteurs ni médiatrices. Pour l'exemple, G(10/3, 2), différent de E.
Limites et pièges
Dans un triangle équilatéral, O, G, H et E sont confondus. Le cercle des neuf points existe toujours, mais les pieds des hauteurs coïncident avec les milieux des côtés : les neuf points comptés avec leur rôle ne donnent que six positions distinctes.
Dans un triangle rectangle, H est le sommet de l'angle droit et O le milieu de l'hypoténuse. E reste le milieu de [OH]. Certains des neuf points peuvent alors coïncider; il ne faut donc pas exiger neuf marques distinctes dans la représentation.
Pour trois sommets alignés, il n'y a pas de triangle non dégénéré : le cercle circonscrit et les centres O et E ne sont pas définis dans le cadre euclidien ordinaire. Il faut d'abord vérifier que les trois sommets ne sont pas colinéaires.
Le signe du rapport d'homothétie compte. Depuis H, le rapport est +1/2; depuis G, il est −1/2. Remplacer ce dernier par +1/2 place les images des sommets du mauvais côté de G et ne produit pas les milieux des côtés.
Pour aller plus loin
Le cercle des neuf points rassemble la construction complète et les trois familles de points dont E est le centre.
L'Orthocentre précise la construction du point H, indispensable pour situer E comme milieu de [OH].
La droite d'Euler replace O, G, E et H sur leur axe commun et éclaire leurs rapports de distances.
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