point remarquable dans un tétraèdre

Imaginez une pyramide à quatre faces triangulaires. Plusieurs constructions équilibrées y désignent un point particulier : chercher un point également éloigné des quatre sommets, relier chaque sommet au centre de la face opposée, ou inscrire une sphère tangente aux quatre faces.

Ces constructions donnent notamment le centre de la sphère circonscrite, le centre de gravité et le centre de la sphère inscrite. Contrairement au triangle, les hauteurs ne se rencontrent pas toujours. Un tétraèdre possède donc plusieurs points remarquables, mais pas forcément un orthocentre.

Dans un tétraèdre non dégénéré, un point remarquable est le point de concours associé à une construction géométrique symétrique. Les six plans médiateurs des arêtes déterminent un unique point O, équidistant des quatre sommets : c'est le centre de la sphère circonscrite. Les six plans bissecteurs intérieurs des angles dièdres déterminent le centre de la sphère inscrite, équidistant des quatre faces.

Chaque médiane joint un sommet au centre de gravité de la face opposée. Les quatre médianes concourent au centre de gravité G du tétraèdre. Le point G se trouve aux trois quarts de chaque médiane en partant du sommet, donc au quart en partant de la face opposée. Les trois bimédianes, qui joignent les milieux de deux arêtes opposées, passent aussi par G.

Les quatre hauteurs ne sont pas concourantes dans un tétraèdre quelconque. Si elles le sont, le tétraèdre est orthocentrique et leur concours est l'orthocentre. Le point de Monge M est le concours des six plans menés par le milieu d'une arête et perpendiculaires à l'arête opposée. Les points O, G et M sont alignés, et G est le milieu de [OM]. Dans un tétraèdre orthocentrique, si H désigne l'orthocentre, M est le milieu de [OH] : M et H ne coïncident donc pas en général. Dans un tétraèdre régulier, O, G, M et H coïncident.

Considérons le tétraèdre dont les sommets sont A(1, 1, 1), B(1, −1, −1), C(−1, 1, −1) et D(−1, −1, 1). Ces quatre points forment un tétraèdre régulier.

1. Le centre de gravité G a pour coordonnées les moyennes des coordonnées des quatre sommets.
$G=(\frac{1+1-1-1}{4},\frac{1-1+1-1}{4},\frac{1-1-1+1}{4})=(0,0,0)G=\backslash left(\backslash frac\{1+1-1-1\}\{4\},\backslash frac\{1-1+1-1\}\{4\},\backslash frac\{1-1-1+1\}\{4\}\backslash right)=(0,0,0)$

2. Le centre F de la face opposée à A est la moyenne de B, C et D, donc F(−1/3, −1/3, −1/3). Sur la médiane [AF], le point G est situé aux trois quarts du trajet depuis A : AG = 3 AF/4 et GF = AF/4.

3. La distance de G à chacun des quatre sommets vaut $\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\backslash sqrt\{1^2+1^2+1^2\}=\backslash sqrt\{3\}$. G est donc aussi le centre de la sphère circonscrite.

4. Un contrôle direct consiste à calculer AB, AC et AD : chaque longueur vaut $2\sqrt{2}2\backslash sqrt\{2\}$. Par symétrie des quatre sommets, le tétraèdre est bien régulier ; son centre de gravité, son orthocentre, son point de Monge et le centre de sa sphère circonscrite coïncident en G.

Pour trouver le centre de gravité à partir de coordonnées, on moyenne séparément les quatre abscisses, les quatre ordonnées et les quatre cotes. Cette méthode est préférable à un tracé lorsque les sommets sont donnés numériquement.

Pour construire la sphère passant par les quatre sommets, on cherche plutôt l'intersection de plans médiateurs d'arêtes. Le contrôle observable est l'égalité des quatre distances aux sommets ; le centre de gravité ne convient pas en général.

Avant de chercher un orthocentre, on vérifie que les hauteurs sont concourantes. Si deux hauteurs gauches ne se rencontrent pas, il faut abandonner l'analogie avec le triangle et utiliser le point de Monge, qui existe pour tout tétraèdre non dégénéré.

Centre de gravité et centre de la sphère circonscrite. Le premier moyenne les sommets ; le second est équidistant des sommets. Dans le tétraèdre régulier de l'exemple, ils coïncident, mais cette coïncidence disparaît généralement si un sommet est déplacé.

Orthocentre et point de Monge. L'orthocentre exige le concours des quatre hauteurs. Le point de Monge est défini par six plans et existe pour tout tétraèdre non dégénéré. Même dans un tétraèdre orthocentrique, ils sont généralement distincts : le point de Monge est le milieu du segment joignant le centre circonscrit à l'orthocentre.

Médiane et bimédiane. Une médiane part d'un sommet vers le centre de la face opposée. Une bimédiane joint les milieux de deux arêtes opposées. Toutes passent par le centre de gravité, mais elles ne relient pas les mêmes objets.

Hauteurs non concourantes. Quatre hauteurs existent, mais elles peuvent être gauches ou ne pas partager un même point. Dans ce cas, parler de l'orthocentre du tétraèdre est incorrect ; le point de Monge reste le point remarquable disponible.

Rapport pris depuis le mauvais côté. Le centre de gravité est aux trois quarts d'une médiane depuis le sommet, mais au quart depuis le centre de la face opposée. Inverser l'origine échange les rapports 3/4 et 1/4.

Tétraèdre dégénéré. Si les quatre sommets sont coplanaires, ils ne délimitent plus un tétraèdre de volume non nul. Les affirmations d'existence et d'unicité de cette fiche supposent donc quatre sommets non coplanaires.

Coïncidence exceptionnelle. Dans un tétraèdre régulier, plusieurs centres se superposent. Il ne faut pas déduire de cette symétrie que le centre de gravité est toujours équidistant des sommets ou que tout tétraèdre possède un orthocentre.

tétraèdre — Revoir les faces, arêtes, sommets et propriétés de l'objet qui porte toutes ces constructions.

centre de gravité — Approfondir le barycentre des sommets et son interprétation géométrique.

point de Monge — Étudier la construction par les six plans et sa relation avec le centre de la sphère circonscrite.