hauteur d'un tétraèdre

Imaginez un tétraèdre posé sur l'une de ses faces. Depuis le sommet qui se trouve en face, laissez tomber un fil parfaitement perpendiculaire au plan de cette base. Le segment parcouru jusqu'au plan est une hauteur ; son point d'arrivée est le pied de la hauteur.

Le solide possède quatre choix de base, donc quatre hauteurs. Contrairement aux trois hauteurs d'un triangle, celles d'un tétraèdre ne se rencontrent pas toujours. Lorsqu'elles passent toutes par un même point, le tétraèdre est dit orthocentrique.

Dans un tétraèdre ABCD, la hauteur issue du sommet A est le segment qui joint A au point H_A du plan contenant la face BCD, avec AH_A perpendiculaire à ce plan. Le point H_A est le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD). Il peut appartenir au triangle BCD, à son bord ou à l'extérieur ; la hauteur est définie par rapport au plan de la face, pas seulement à la région triangulaire. Le mot « hauteur » désigne aussi, selon le contexte, la longueur AH_A.

On définit de même les hauteurs issues de B, C et D. Deux d'entre elles peuvent être des droites gauches, donc ne jamais se couper. Les hauteurs issues de A et de B sont concourantes exactement lorsque les arêtes opposées AB et CD sont perpendiculaires. Un tétraèdre est orthocentrique lorsque ses quatre droites de hauteur ont un point commun, appelé orthocentre.

Le critère se formule sans construire les hauteurs : $AB\perp CD,AC\perp BD,AD\perp BCAB\backslash perp\; CD,\backslash quad\; AC\backslash perp\; BD,\backslash quad\; AD\backslash perp\; BC$. Ces trois relations entre arêtes opposées caractérisent un tétraèdre orthocentrique. Pour une base d'aire S, une hauteur de longueur h et un volume V, la relation $V=\frac{1}{3}ShV=\backslash frac13Sh$ donne aussi $h=\frac{3V}{S}h=\backslash frac\{3V\}\{S\}$, à condition que S soit non nulle.

Considérons les sommets A(1, 1, 1), B(1, −1, −1), C(−1, 1, −1) et D(−1, −1, 1) dans un repère orthonormé. Les six arêtes ont la même longueur : il s'agit d'un tétraèdre régulier. Cherchons la hauteur issue de A et vérifions son orthocentricité. La projection dessinée conserve les points et les segments de ce calcul en coordonnées.

1. Les points B, C et D satisfont x + y + z = −1. Le plan de la face BCD a donc pour équation x + y + z = −1 et pour vecteur normal le vecteur (1, 1, 1).

2. La droite passant par A et dirigée par ce vecteur normal coupe le plan en H_A(−1/3, −1/3, −1/3). Le segment AH_A est donc perpendiculaire à la face BCD.

3. Sa longueur vaut : $A{H}_A=\sqrt{{(-\frac{4}{3})}^2+{(-\frac{4}{3})}^2+{(-\frac{4}{3})}^2}=\frac{4}{\sqrt{3}}AH\_A=\backslash sqrt\{\backslash left(-\backslash frac43\backslash right)^2+\backslash left(-\backslash frac43\backslash right)^2+\backslash left(-\backslash frac43\backslash right)^2\}=\backslash frac4\{\backslash sqrt3\}$, soit environ 2,31 unités.

4. Pour contrôler l'orthocentricité, les vecteurs des arêtes AB et CD sont (0, −2, −2) et (0, −2, 2) ; leur produit scalaire vaut 0. Les deux autres paires donnent aussi 0. Les quatre hauteurs sont donc concourantes au point O(0, 0, 0), qui appartient bien au segment AH_A.

En géométrie analytique, on calcule une hauteur en projetant un sommet sur le plan de la face opposée. Une équation du plan fournit un vecteur normal ; l'intersection de la droite normale avec le plan donne le pied. Une simple distance à une arête ne convient pas, car elle ne contrôle pas la perpendicularité à toute la face.

Pour calculer un volume, on choisit comme base la face dont l'aire est la plus accessible, puis on utilise la hauteur relative à cette face. Si le volume et l'aire sont connus, la longueur cherchée est 3V/S. Une autre face impose une autre hauteur, mais conduit au même volume.

Pour décider si un tétraèdre est orthocentrique, les produits scalaires des vecteurs portés par les arêtes opposées évitent de construire quatre droites dans l'espace. Un produit non nul suffit à écarter l'orthocentricité ; des produits nuls établissent les perpendicularités requises.

Hauteur et médiane issue d'un sommet. La hauteur vise le projeté orthogonal sur le plan de la face ; la médiane vise le centre de gravité de cette face. Elles coïncident dans un tétraèdre régulier, mais pas dans un tétraèdre quelconque.

Segment de hauteur et longueur de hauteur. AH_A peut désigner le segment géométrique ou sa mesure. Une phrase qui parle d'intersection concerne le segment ou sa droite support ; une formule de volume emploie une longueur positive.

Orthocentre du tétraèdre et orthocentre d'une face. Le premier est commun aux hauteurs du solide lorsqu'il existe. Le second appartient au plan d'un triangle face et résulte des hauteurs de ce triangle ; ces deux constructions ne répondent pas au même test.

Pied extérieur à la face. Dans un tétraèdre obtus, le projeté d'un sommet peut tomber hors du triangle opposé tout en restant dans son plan. Il faut prolonger le plan de la face, et non chercher de force un point intérieur.

Une seule perpendicularité ne suffit pas. Si AB est perpendiculaire à CD, seules les hauteurs issues de A et de B sont assurées de se rencontrer. Il faut contrôler le critère complet des arêtes opposées avant d'annoncer un orthocentre commun aux quatre hauteurs.

Perpendiculaire à une arête n'est pas perpendiculaire à la face. Une droite orthogonale à une seule arête de BCD peut rester inclinée par rapport au plan (BCD). On vérifie plutôt un vecteur normal au plan, ou deux directions non parallèles de ce plan.

Cas dégénéré. Si les quatre sommets sont coplanaires, le volume est nul et l'objet n'est pas un tétraèdre non dégénéré. La construction des quatre hauteurs du solide et la formule h = 3V/S ne doivent alors pas être interprétées comme dans le cas spatial.

Le glossaire tétraèdre replace les hauteurs parmi les sommets, arêtes, faces et autres éléments constitutifs du solide.

La fiche produit scalaire donne l'outil algébrique utilisé pour tester les trois paires d'arêtes opposées.

L'entrée Orthocentre permet de comparer le point de concours familier d'un triangle avec son analogue conditionnel dans un tétraèdre.