quadrangle orthocentrique

Placez trois points et tracez le triangle qu’ils déterminent. Ses trois hauteurs se rencontrent en un quatrième point, appelé orthocentre. Les quatre points obtenus forment alors une équipe remarquable : si l’on choisit n’importe lesquels comme triangle, le point laissé de côté en est l’orthocentre.

Cette réciprocité vient des mêmes perpendicularités. Une droite qui joue le rôle de hauteur dans un triangle conserve ce rôle lorsque l’on échange les sommets observés.

Dans le plan euclidien, un quadrangle orthocentrique est un ensemble de quatre points distincts tels que chacun soit l’orthocentre du triangle défini par les trois autres. Les quatre points ne sont donc pas alignés trois à trois. L’orthocentre d’un triangle est le point de concours de ses trois hauteurs, une hauteur étant une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Notons les quatre points A, B, C et H. Il suffit que H soit l’orthocentre du triangle ABC : les relations AB perpendiculaire à CH, AC perpendiculaire à BH et BC perpendiculaire à AH montrent alors, par permutation, que A, B et C sont les orthocentres des trois autres triangles. La propriété portant sur des droites, elle ne dépend ni de l’ordre des quatre points ni de la façon de relier leur contour.

La figure fondée sur les coordonnées de l’exemple matérialise les trois couples de droites perpendiculaires qui suffisent à établir cette symétrie.

Dans un repère orthonormé, prenons les points A de coordonnées (0 ; 0), B de coordonnées (6 ; 0) et C de coordonnées (2 ; 4). Nous cherchons leur orthocentre H, puis nous contrôlons que les quatre points forment bien un quadrangle orthocentrique.

1. Le côté AB est horizontal. La hauteur issue de C est donc verticale et a pour abscisse 2.

2. La droite AC a une pente égale à 2. La hauteur issue de B a donc une pente égale à −1/2 ; à l’abscisse 2, son ordonnée vaut 2. Les deux hauteurs se coupent au point H de coordonnées (2 ; 2).

3. Contrôlons les trois perpendicularités avec les vecteurs directeurs :

Chaque produit scalaire nul confirme un angle droit. H est l’orthocentre de ABC et les mêmes trois relations prouvent que A, B et C sont à leur tour les orthocentres des triangles opposés.

Pour construire un quadrangle orthocentrique, on part d’un triangle non rectangle et l’on trace deux de ses hauteurs. Leur intersection fournit le quatrième point ; la troisième hauteur sert de contrôle.

Pour reconnaître une configuration donnée, il n’est pas nécessaire de reconstruire quatre orthocentres. On vérifie les trois perpendicularités entre segments opposés, comme AB et CH. Si l’une échoue, le quadrangle n’est pas orthocentrique.

Avec des coordonnées, les produits scalaires donnent un contrôle plus fiable qu’une lecture à l’œil. Une construction à la règle et à l’équerre convient lorsque seules les incidences et les angles droits sont recherchés.

Orthocentre d’un triangle. L’orthocentre est un seul point associé à trois sommets. Le quadrangle orthocentrique est l’ensemble formé par ces trois sommets et ce point, avec une propriété réciproque pour chacun des quatre points.

Quadrilatère orthodiagonal. Ses deux diagonales sont perpendiculaires, ce qui ne suffit pas ici. Un carré est orthodiagonal, mais trois de ses sommets forment un triangle rectangle dont l’orthocentre est déjà l’un de ces trois sommets, et non le quatrième.

Quadrangle complet. Cette configuration projective comprend quatre points et les six droites qui les joignent. Elle devient orthocentrique seulement si les trois couples de droites opposées sont perpendiculaires dans une géométrie euclidienne.

Triangle rectangle. Son orthocentre coïncide avec le sommet de l’angle droit. La construction ne fournit alors que trois points distincts : elle ne donne pas un quadrangle au sens non dégénéré.

Trois points alignés. Ils ne définissent pas un triangle non dégénéré et leurs hauteurs n’ont pas un point de concours jouant le rôle demandé. Il faut repartir de trois points non alignés.

Lecture du dessin. Une presque-perpendicularité visuelle ne prouve rien, surtout sur une figure déformée. Il faut contrôler des angles droits par construction ou vérifier que les produits scalaires correspondants sont nuls.

Position du quatrième point. L’orthocentre est intérieur lorsque le triangle de départ est aigu et extérieur lorsqu’il est obtus. Cette différence de position ne change pas la propriété orthocentrique.

La notion d’orthocentre détaille le point de concours des hauteurs d’un triangle. Elle permet de retrouver la construction initiale du quatrième point et de comprendre pourquoi les perpendicularités se répondent.