triangle obtusangle

Imaginez trois points reliés par trois segments. Si l’un des coins s’ouvre plus qu’un angle droit, mais ne s’aplatit pas complètement, le triangle est obtusangle. Les deux autres coins sont forcément plus petits qu’un angle droit.

Cette ouverture change aussi la position de l’orthocentre, le point où se rencontrent les trois hauteurs : il se trouve hors du triangle.

Un triangle obtusangle possède exactement un angle dont la mesure est strictement supérieure à 90° et strictement inférieure à 180°. Il peut être scalène, avec trois côtés de longueurs différentes, ou isocèle, avec deux côtés de même longueur. La qualification « obtusangle » concerne ses angles, pas l’égalité éventuelle de ses côtés.

Notons α, β et γ les mesures de ses trois angles. Elles vérifient $alpha+beta+gamma={180}^{\circ }alpha+beta+gamma=180^\backslash circ$. Si α dépasse 90°, alors β + γ est inférieur à 90° : β et γ sont donc tous deux aigus. Deux angles obtus dans un même triangle sont impossibles.

Les trois hauteurs sont les droites passant par un sommet et perpendiculaires au côté opposé, éventuellement prolongé. Leur point d’intersection est l’orthocentre. Dans un triangle obtusangle, deux hauteurs rencontrent des prolongements de côtés ; leur intersection se situe à l’extérieur du triangle.

Un triangle obtusangle comporte trois sommets, trois côtés et trois angles intérieurs. Un unique angle obtus fait face au côté le plus long. Les deux autres angles sont aigus. Les trois hauteurs complètent cette structure : chacune passe par un sommet et forme un angle droit avec la droite qui porte le côté opposé.

La longueur des côtés détermine les angles, et réciproquement à une échelle près. La position de l’angle obtus impose que deux côtés soient prolongés pour tracer certaines hauteurs ; leur intersection, l’orthocentre, tombe alors hors du contour. La couleur, l’orientation et la taille du dessin ne définissent pas la nature obtusangle. Trois sommets non alignés, ou trois longueurs compatibles, suffisent à construire le triangle et à vérifier sa classification.

On considère les points A(0,0), B(6,0) et C(2,2). Les longueurs au carré sont calculées à partir des écarts de coordonnées.

1. Pour le côté AC, les écarts valent 2 et 2 : AC² = 2² + 2² = 8.

2. Pour le côté BC, les écarts valent 4 et 2 : BC² = 4² + 2² = 20. Enfin, AB² = 6² = 36.

3. Le plus grand côté est AB. Comme $A{B}^2>A{C}^2+B{C}^{2}AB^2>AC^2+BC^2$, soit 36 > 8 + 20, l’angle opposé, situé en C, est obtus.

4. La hauteur issue de C est la droite verticale d’abscisse 2. La hauteur issue de A a pour équation y = 2x. Elles se coupent en H(2,4), au-dessus de C et hors du triangle. La construction permet de contrôler simultanément l’angle obtus et l’orthocentre extérieur.

Avec un rapporteur, mesurez le plus grand angle. Une mesure strictement supérieure à 90° classe le triangle comme obtusangle ; à 90° exactement, il faut retenir la catégorie rectangle.

Lorsque seules les longueurs sont connues, repérez le plus grand côté. Comparez son carré à la somme des carrés des deux autres : une valeur plus grande signale l’angle obtus opposé. L’égalité signale plutôt un triangle rectangle.

Sur une construction, prolongez les côtés si les perpendiculaires issues des sommets ne se rencontrent pas dans la figure. Leur intersection extérieure confirme la géométrie d’un triangle obtusangle non dégénéré.

Triangle acutangle. Ses trois angles sont strictement inférieurs à 90° et son orthocentre est intérieur. Un triangle qui possède un angle de 100° est obtusangle, jamais acutangle.

Triangle rectangle. Il possède un angle égal à 90°, tandis que l’angle caractéristique d’un triangle obtusangle dépasse strictement 90°. Le seuil de 90° appartient donc à la catégorie rectangle.

Triangle scalène. Ce terme décrit trois côtés de longueurs différentes. Un triangle peut être à la fois scalène et obtusangle, comme celui de côtés au carré 8, 20 et 36 : les deux qualifications ne s’opposent pas.

Le seuil de 90° est strict. Une mesure de 90° ne suffit pas à parler d’un triangle obtusangle. Il faut conclure « rectangle » ou améliorer la précision de la mesure si le tracé laisse un doute.

Un angle de 180° ne forme plus un triangle. Les trois sommets sont alors alignés et l’aire est nulle. La définition exige un angle strictement inférieur à 180°.

Le dessin peut tromper. Une ouverture proche de 90° paraît parfois droite ou obtuse selon l’échelle. Il faut mesurer l’angle ou appliquer le critère des carrés des côtés, sans classer la figure à l’œil seul.

Le critère des côtés porte sur le plus grand côté. Comparer un autre côté fausse le verdict. Si sa longueur est notée c et les deux autres a et b, le triangle est obtusangle lorsque $c^2>a^2+b^{2}c^2>a^2+b^2$.

triangle acutangle — Comparer la position des angles et de l’orthocentre lorsque les trois angles sont aigus.

Orthocentre — Approfondir la construction du point commun aux trois hauteurs d’un triangle.

Scalène — Distinguer la classification par les longueurs de la classification par les angles.