Triangle aigu

Imaginez un triangle en carton dont les côtés mesurent 5 cm, 6 cm et 7 cm. Aucun de ses coins ne s’ouvre autant que le coin carré d’une feuille : chacun reste plus fermé qu’un angle de 90 degrés. C’est cette observation simultanée sur les trois coins qui rend le triangle aigu.

Un seul angle droit ou plus ouvert suffit donc à faire perdre cette qualification au triangle entier.

Dans la géométrie euclidienne, un triangle non dégénéré est aigu si chacun de ses trois angles intérieurs mesure strictement moins de 90 degrés. La condition porte sur les trois angles : la présence d’un ou de deux angles aigus ne suffit pas. Comme leur somme vaut 180 degrés, il suffit en pratique de contrôler le plus grand angle.

Un critère équivalent utilise seulement les longueurs. La longueur du plus grand côté est notée c, et celles des deux autres côtés sont notées a et b. Le triangle est aigu exactement lorsque $c^2<a^2+b^{2}c^2\backslash lt\; a^2+b^2$. Cette comparaison traduit le fait que le plus grand angle, opposé au côté c, reste inférieur à 90 degrés.

Dans un triangle aigu, l’orthocentre, point d’intersection des trois hauteurs, est intérieur. Le centre du cercle circonscrit, point équidistant des trois sommets, est lui aussi intérieur. Ces positions sont des propriétés du triangle aigu, mais sa définition demeure la mesure de ses trois angles.

Le triangle réunit trois sommets, trois côtés et trois angles intérieurs. Chaque angle dépend des deux côtés qui se rencontrent à son sommet, tandis que sa taille est liée à la longueur du côté opposé : le plus grand angle fait face au plus grand côté. Les trois hauteurs, perpendiculaires à un côté et passant par le sommet opposé, se coupent à l’orthocentre. Les médiatrices des côtés, perpendiculaires en leurs milieux, se coupent au centre du cercle circonscrit.

Les sommets, côtés et angles définissent la forme ; les hauteurs et médiatrices en révèlent des points remarquables. Une rotation, une homothétie (changement d’échelle uniforme), une couleur ou l’épaisseur du tracé ne modifient pas le caractère aigu. Une fois deux sommets placés, trois longueurs qui satisfont les inégalités triangulaires suffisent à construire le troisième dans l’une de deux positions symétriques et à tester le type du triangle.

On considère le triangle ABC représenté par la figure. Ses données sont AB = 6 cm, AC = 5 cm et BC = 7 cm. Il faut déterminer si ses trois angles sont aigus sans se fier à l’apparence du dessin.

1. Le côté le plus long est BC, de longueur 7 cm. Le plus grand angle est donc l’angle au sommet A, opposé à BC.

2. On compare le carré de 7 aux carrés des deux autres longueurs : $7^2=49<61=5^2+6^{2}7^2=49\backslash lt61=5^2+6^2$. Le critère est strictement vérifié.

3. Le plus grand angle est inférieur à 90 degrés ; les deux autres, plus petits, le sont aussi. Le triangle ABC est donc aigu.

Pour contrôler le résultat, les mesures des angles aux sommets A, B et C, notées Â, B̂ et Ĉ, peuvent être calculées puis arrondies au dixième de degré : $\widehat{A}\approx {\mathrm{78,5}}^{\circ },\widehat{B}\approx {\mathrm{44,4}}^{\circ },\widehat{C}\approx {\mathrm{57,1}}^{\circ }\backslash widehat\; A\backslash approx78\{,\}5^\backslash circ,\backslash quad\; \backslash widehat\; B\backslash approx44\{,\}4^\backslash circ,\backslash quad\; \backslash widehat\; C\backslash approx57\{,\}1^\backslash circ$. Elles sont toutes inférieures à 90 degrés et leur somme arrondie vaut 180,0 degrés.

Sur une figure mesurable, un rapporteur donne une première classification. Chaque angle doit être lu depuis le zéro placé sur l’un de ses côtés. Si une mesure atteint ou dépasse 90 degrés, le triangle n’est pas aigu.

Lorsque seules les trois longueurs sont connues, la comparaison des carrés évite de construire ou de mesurer les angles. On choisit le plus grand côté : son carré doit rester strictement inférieur à la somme des carrés des deux autres.

Dans un exercice de géométrie, la classification permet aussi d’anticiper la position des points remarquables. Pour un triangle aigu, les hauteurs et les médiatrices se rencontrent à l’intérieur ; un tracé qui place l’orthocentre ou le centre du cercle circonscrit dehors signale une construction à revoir.

Un triangle aigu et un triangle rectangle. Le premier a trois angles strictement inférieurs à 90 degrés ; le second en possède un égal à 90 degrés. Des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm donnent l’égalité des carrés et tranchent en faveur du triangle rectangle.

Un triangle aigu et un triangle obtus. Dans le triangle obtus, un angle dépasse 90 degrés. Avec le plus grand côté c et les deux autres a et b, le signe de la comparaison change : le carré de c dépasse la somme des carrés de a et b.

Un angle aigu et un triangle aigu. Un triangle obtus possède pourtant deux angles aigus. Le cas d’angles mesurant 30, 40 et 110 degrés montre qu’il faut contrôler les trois angles pour qualifier le triangle.

Le seuil de 90 degrés est exclu. Si le plus grand angle vaut exactement 90 degrés, le mot « aigu » ne s’applique pas. Dans le test par les côtés, ce cas se repère par l’égalité entre le carré du plus grand côté et la somme des deux autres carrés.

Trois longueurs ne forment pas toujours un triangle. Si la plus grande est égale ou supérieure à la somme des deux autres, la figure est aplatie ou impossible. Il faut vérifier l’existence du triangle avant d’appliquer le critère des carrés.

Un dessin n’est pas une mesure. Un angle proche de 90 degrés peut paraître aigu sur un croquis déformé. Un rapporteur ou le test des longueurs fournit alors le verdict, avec la précision disponible.

Les arrondis peuvent masquer le cas charnière. Une mesure affichée à 89,9 degrés reste aiguë, mais une valeur annoncée « environ 90 degrés » ne suffit pas à conclure. Il faut conserver davantage de précision ou revenir aux données exactes.

Orthocentre — Le point d’intersection des hauteurs éclaire la propriété intérieure caractéristique du triangle aigu.

centre du cercle circonscrit — Sa construction par les médiatrices explique pourquoi ce centre se trouve à l’intérieur d’un triangle aigu.