GéométrieThéorème · Glossaire
théorème japonais
Dans tout triangle non dégénéré, la somme des distances orientées du centre du cercle circonscrit aux trois droites portant les côtés est égale à la somme des rayons des cercles circonscrit et inscrit. L’orientation est indispensable pour les triangles obtus, où l’une de ces distances devient négative ; l’identité relie ainsi directement la position du centre circonscrit aux deux cercles remarquables du triangle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les rayons inscrit et circonscrit ainsi que les trois distances concernées.
- Vérifier exactement l'identité sur un triangle rectangle 3–4–5.
- Choisir la bonne convention de signe pour un triangle obtus.
- Distinguer le résultat triangulaire de la famille de théorèmes sur les polygones cycliques.
En clair
Imaginez un triangle entouré par un cercle qui passe par ses trois sommets. Le centre de ce grand cercle n'est pas choisi au hasard : ses distances aux trois côtés se compensent d'une manière remarquable.
En additionnant ces trois distances, on retrouve deux longueurs déjà présentes dans la figure : le rayon du cercle qui touche les trois côtés à l'intérieur du triangle et celui du cercle extérieur. Pour un triangle aigu, ces distances se lisent comme trois longueurs ordinaires.
Définition
Le théorème japonais présenté ici est une identité métrique attachée à un triangle non dégénéré. Le point O est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit, et son rayon est noté R. Le rayon du cercle tangent aux trois côtés à l'intérieur du triangle, appelé cercle inscrit, est noté r.
Pour chaque droite portant un côté, on mesure la distance perpendiculaire depuis O. Dans un triangle aigu, O est intérieur et les trois distances sont positives. Dans un triangle rectangle, O appartient à l'hypoténuse et la distance correspondante est nulle. Pour conserver l'identité dans un triangle obtus, la distance au côté opposé à l'angle obtus doit être comptée avec un signe négatif.
Avec cette convention de distances orientées, la somme vaut toujours R + r. Le résultat est énoncé dans la Géométrie de position de Lazare Carnot. Son nom renvoie aussi à une famille de résultats sur les polygones cycliques, liée à la tradition japonaise des sangaku.
Le principe
Si ABC est un triangle non dégénéré, si O est le centre de son cercle circonscrit de rayon R et si r est le rayon de son cercle inscrit, alors la somme des distances orientées de O aux droites portant ses côtés vaut R + r.
Les trois termes de gauche sont positifs lorsque O et l'intérieur du triangle sont du même côté de la droite considérée, nuls sur la droite et négatifs dans le cas contraire.
Quand l'utiliser
Le domaine est celui des triangles non dégénérés : les trois sommets ne sont pas alignés, de sorte que les cercles inscrit et circonscrit existent avec des rayons positifs. Les distances sont prises perpendiculairement aux droites qui portent les côtés, et leur signe dépend de la position de O par rapport à l'intérieur du triangle.
Pour un triangle aigu, les trois distances ordinaires conviennent. Pour un triangle rectangle, la distance à l'hypoténuse vaut 0. Un triangle obtus fournit un contre-cas à la lecture sans signe : O est extérieur et additionner trois valeurs absolues ne donne pas R + r. Il faut alors employer les distances orientées.
Un exemple, pas à pas
Prenons un triangle ABC rectangle en A, dont les deux côtés de l'angle droit mesurent 3 et 4 unités et l'hypoténuse 5 unités. La figure matérialise les deux cercles et les trois distances issues du centre O.
Données.
Longueurs des côtés : 3, 4 et 5 unités.
Aire du triangle : (3 × 4) ÷ 2 = 6 unités carrées.
Demi-périmètre : (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6 unités.
Longueurs des côtés : 3, 4 et 5 unités.
Aire du triangle : (3 × 4) ÷ 2 = 6 unités carrées.
Demi-périmètre : (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6 unités.
Étape 1. Dans un triangle rectangle, O est le milieu de l'hypoténuse. Le rayon circonscrit vaut donc R = 5 ÷ 2 = 2,5 unités.
Étape 2. Le rayon inscrit est l'aire divisée par le demi-périmètre : r = 6 ÷ 6 = 1 unité.
Étape 3. Les distances de O aux deux côtés perpendiculaires sont 1,5 et 2 unités. Comme O appartient à l'hypoténuse, la troisième distance vaut 0.
Contrôle. La somme des distances vaut 1,5 + 2 + 0 = 3,5 unités. La somme des rayons vaut r + R = 1 + 2,5 = 3,5 unités : les deux calculs coïncident exactement.
En pratique
Dans un exercice de géométrie, l'identité fournit une longueur manquante dès que les deux autres distances ainsi que les rayons R et r sont connus. Elle évite alors de recalculer séparément toutes les distances par des projections.
Sur une figure, on commence par repérer si le triangle est aigu, rectangle ou obtus. Ce diagnostic détermine si les distances ordinaires suffisent ou si l'une d'elles doit être orientée négativement.
Pour contrôler un calcul, on évalue séparément la somme liée aux côtés et la somme R + r. Un désaccord dans un triangle obtus signale souvent qu'une distance extérieure a été traitée comme une valeur absolue.
À ne pas confondre
Le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit sont deux points différents en général. Le premier est à égale distance des sommets ; le second est à égale distance des côtés. Dans un triangle 3–4–5, le centre circonscrit est sur l'hypoténuse, tandis que le centre inscrit reste à l'intérieur.
L'identité triangulaire ne doit pas être confondue avec toute la famille de résultats également nommés « théorèmes japonais » pour des polygones cycliques. Le nombre de côtés tranche : ici, la figure de départ est précisément un triangle.
Limites et pièges
Triangle obtus. Le centre O est extérieur. Le symptôme est qu'une perpendiculaire vers le côté opposé à l'angle obtus part du mauvais côté de sa droite support. Cette distance doit être négative ; la remplacer par sa valeur absolue rompt l'identité.
Cas charnière de 90°. Dans un triangle rectangle, O se trouve sur l'hypoténuse et la distance correspondante est exactement 0. Ce cas sépare la configuration aiguë, où les trois termes sont positifs, de la configuration obtuse, où un terme est négatif.
Triangle aplati. Si les trois sommets sont alignés, il n'existe plus de cercle circonscrit de rayon fini ni de cercle inscrit au sens utilisé ici. Il ne faut pas appliquer l'égalité ; on traite seulement un éventuel passage à la limite.
Côté ou segment. La distance intervient par rapport à la droite qui porte le côté, car elle est mesurée perpendiculairement et orientée. Chercher systématiquement le point le plus proche sur le segment peut changer le pied de la perpendiculaire et ne correspond plus à l'énoncé.
Pour aller plus loin
Le cercle inscrit précise la construction du cercle tangent aux trois côtés et le rôle de son rayon r.
Le centre du cercle circonscrit approfondit le point O, sa construction et sa position selon la forme du triangle.
Les sangaku replacent le nom du théorème dans la tradition mathématique japonaise ancienne évoquée par la source.
La notice Carnot Lazare situe l'auteur de la Géométrie de position mentionnée dans la définition source.
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