inégalité d'Euler

Imaginez deux cercles associés au même triangle. Le petit cercle touche ses trois côtés, tandis que le grand passe par ses trois sommets. L’inégalité d’Euler affirme que le rayon du grand cercle ne peut jamais être inférieur au double de celui du petit. Les deux tailles atteignent exactement ce rapport dans le triangle équilatéral. Dans tout autre triangle, le grand rayon dépasse strictement le double du petit.

L’inégalité d’Euler est une relation métrique valable pour tout triangle euclidien non dégénéré. Le rayon du cercle inscrit, tangent aux trois côtés, est noté r. Le rayon du cercle circonscrit, passant par les trois sommets, est noté R. Si I désigne le centre du cercle inscrit et O celui du cercle circonscrit, la formule d’Euler relie aussi la distance entre ces deux centres aux deux rayons.

Comme le carré OI² est positif ou nul et que R est positif, le facteur R − 2r est positif ou nul. Ainsi, R ≥ 2r. L’égalité a lieu exactement lorsque O et I coïncident, ce qui arrive si et seulement si le triangle est équilatéral.

Si un triangle euclidien non dégénéré possède un cercle inscrit de rayon r et un cercle circonscrit de rayon R, alors : $R\ge 2rR\backslash geq\; 2r$. Le rayon circonscrit vaut donc au moins deux fois le rayon inscrit. Le verdict est complet : R = 2r caractérise le triangle équilatéral ; pour tout triangle non équilatéral, R > 2r.

Le résultat s’applique à un triangle non dégénéré du plan euclidien. Il faut pouvoir définir ses trois côtés, son cercle inscrit et son cercle circonscrit. Les rayons r et R sont alors strictement positifs, et la comparaison R ≥ 2r est indépendante de la taille ou de l’orientation du triangle.

Si les trois sommets sont alignés, le triangle est dégénéré : il n’existe pas de cercle circonscrit unique de rayon fini ni de cercle inscrit au sens usuel. L’inégalité d’Euler ne fournit donc aucun verdict. Il faut alors traiter la figure comme un ensemble de points alignés et employer les distances entre ces points, sans introduire r ni R.

Prenons un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 et 4 unités, et dont l’hypoténuse mesure 5 unités. Son aire vaut 6 unités carrées et son demi-périmètre vaut 6 unités. La figure matérialise les deux cercles et l’écart entre leurs centres.

1. Le rayon inscrit est le quotient de l’aire par le demi-périmètre : r = 6 ÷ 6 = 1 unité.
2. Dans un triangle rectangle, le rayon circonscrit est la moitié de l’hypoténuse : R = 5 ÷ 2 = 2,5 unités.
3. On compare : 2r = 2 unités, donc 2,5 > 2. L’inégalité est stricte, comme attendu pour un triangle non équilatéral.

4. La formule des centres donne OI² = 2,5² − 2 × 1 × 2,5 = 1,25 unité carrée. Ainsi, OI = √5 ÷ 2 ≈ 1,118 unité. Un contrôle direct est possible en plaçant les sommets en (0 ; 0), (4 ; 0) et (0 ; 3) : I = (1 ; 1) et O = (2 ; 1,5), d’où OI² = 1² + 0,5² = 1,25.

Après avoir calculé les deux rayons d’un triangle, la comparaison R ≥ 2r sert de contrôle. Si le résultat donne R < 2r, il faut reprendre le calcul de l’aire, du demi-périmètre ou du rayon circonscrit.

Pour reconnaître le cas d’égalité, on peut comparer les trois côtés. S’ils sont égaux, les centres O et I coïncident et R = 2r. Si les côtés ne sont pas tous égaux, l’inégalité est stricte.

Lorsque les centres sont déjà construits, la formule OI² = R² − 2rR permet de contrôler leur distance. Si seuls les côtés sont connus, il est préférable de déterminer d’abord l’aire et les deux rayons, puis d’appliquer la relation.

L’inégalité d’Euler ne doit pas être confondue avec l’inégalité triangulaire. Cette dernière compare les longueurs des côtés, par exemple 3 + 4 > 5. Celle d’Euler compare les rayons des cercles inscrit et circonscrit ; dans le même triangle 3–4–5, elle donne 2,5 > 2 × 1.

La formule d’Euler étudiée ici est OI² = R² − 2rR, en géométrie du triangle. Le nom « formule d’Euler » désigne aussi d’autres relations mathématiques. La présence des centres O et I, ainsi que des rayons R et r, identifie sans ambiguïté celle qui conduit à l’inégalité.

Le seuil R = 2r n’est pas une approximation : il est atteint si et seulement si le triangle est équilatéral. Un triangle presque équilatéral peut donner des valeurs très proches, mais une égalité issue d’arrondis ne suffit pas. Il faut contrôler les valeurs exactes ou l’égalité des trois côtés.

La relation porte sur OI², et non directement sur OI. Après avoir calculé R² − 2rR, il faut prendre une racine carrée pour obtenir une distance. Dans le triangle 3–4–5, 1,25 est le carré de la distance OI, en unités carrées, tandis que OI ≈ 1,118 est une longueur.

La formule donnée suppose un triangle euclidien non dégénéré. Pour trois points alignés, les deux cercles requis ne sont pas définis au sens usuel. Dans les polyèdres ou d’autres contextes métriques, il existe des généralisations, mais la formule plane OI² = R² − 2rR ne doit pas être transposée sans établir le résultat adapté.

La fiche cercle inscrit précise la construction du cercle tangent aux trois côtés et le rôle de son centre.

La fiche centre du cercle circonscrit aide à situer le point O dont la distance au centre inscrit intervient dans la formule d’Euler.