théorème de Napoléon

Dessinez un triangle, puis ajoutez sur chacun de ses côtés un petit triangle équilatéral, comme trois pointes tournées vers l’extérieur. Marquez le centre de chacun de ces trois nouveaux triangles et reliez les marques. Même si le triangle de départ est très dissymétrique, les trois segments obtenus ont exactement la même longueur : ils forment un nouveau triangle équilatéral.

Le théorème de Napoléon est un résultat de géométrie euclidienne plane. À partir d’un triangle non aplati, on construit un triangle équilatéral sur chacun de ses trois côtés. Les trois constructions doivent avoir la même orientation : toutes vers l’extérieur du triangle initial, ou toutes vers l’intérieur.

On prend ensuite le centre de gravité de chaque triangle équilatéral, c’est-à-dire le point d’intersection de ses médianes. Les trois centres sont les sommets d’un triangle équilatéral, appelé triangle de Napoléon extérieur ou intérieur selon l’orientation choisie. Dans un triangle équilatéral, le centre de gravité est aussi le centre du cercle circonscrit : employer l’un ou l’autre conduit donc aux mêmes trois points.

Les cercles circonscrits aux trois triangles ajoutés sont parfois nommés cercles de Napoléon. Dans la construction extérieure, les droites qui relient chaque sommet initial au centre du triangle équilatéral construit sur le côté opposé sont concourantes au premier point de Napoléon. Cette configuration est voisine de celle du point de Fermat, sans définir le même point.

Si trois triangles équilatéraux sont construits sur les trois côtés d’un même triangle, tous extérieurement ou tous intérieurement, alors leurs trois centres de gravité sont les sommets d’un triangle équilatéral. La conclusion porte uniquement sur le triangle des centres : elle n’affirme ni que le triangle initial est équilatéral, ni que les trois triangles construits ont la même taille.

La construction se place dans le plan euclidien et part de trois sommets non alignés. Chaque côté sert de base à un triangle équilatéral. Il faut choisir la même orientation pour les trois sommets ajoutés : tous dans les demi-plans extérieurs, ou tous dans les demi-plans intérieurs. Enfin, les points reliés doivent être les centres des triangles équilatéraux.

Si un seul triangle équilatéral est retourné tandis que les deux autres restent extérieurs, l’hypothèse d’orientation commune disparaît et le triangle des centres n’est généralement plus équilatéral. Il faut alors corriger la construction plutôt qu’appliquer le théorème.

Prenons un triangle rectangle dont les sommets sont A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(0 ; 3). Ses côtés mesurent 3, 4 et 5 unités. Construisons extérieurement les trois triangles équilatéraux.

1. Sur les côtés AB, BC et CA, les sommets extérieurs obtenus sont respectivement E(2 ; −2√3), F(2 + 3√3/2 ; 3/2 + 2√3) et G(−3√3/2 ; 3/2).

2. La moyenne des trois coordonnées de chaque triangle équilatéral donne son centre de gravité. On obtient P(2 ; −2√3/3), Q(2 + √3/2 ; 3/2 + 2√3/3) et R(−√3/2 ; 3/2).

3. La formule de distance appliquée aux trois paires de centres donne le même carré de longueur : $P{Q}^2=Q{R}^2=R{P}^2=\frac{25}{3}+4\sqrt{3}PQ^2=QR^2=RP^2=\backslash frac\{25\}\{3\}+4\backslash sqrt\{3\}$.

Les trois côtés mesurent donc exactement $\sqrt{\frac{25}{3}+4\sqrt{3}}\backslash sqrt\{\backslash frac\{25\}\{3\}+4\backslash sqrt\{3\}\}$, soit environ 3,907 unités. L’égalité des trois carrés de distance constitue un contrôle refaisable : le triangle PQR est équilatéral. La figure matérialise cette vérification sur la construction extérieure.

Pour construire la figure à la règle et au compas, on reporte chaque longueur de côté avec deux arcs de même rayon, puis on choisit leurs intersections toutes extérieures. Le centre de chaque triangle ajouté se trouve en croisant deux médianes.

Dans un logiciel de géométrie dynamique, on peut déplacer un sommet du triangle initial et mesurer les trois côtés du triangle des centres. Si les mesures cessent d’être égales au niveau de précision affiché, il faut d’abord vérifier l’orientation des trois triangles équilatéraux et la définition des centres.

Le triangle de Napoléon ne doit pas être confondu avec le point de Fermat. Le premier relie trois centres et produit un triangle équilatéral ; le second est un point du triangle initial lié à la minimisation de la somme des distances aux sommets.

Le centre de gravité n’est pas, en général, le centre du cercle circonscrit d’un triangle. Ces deux centres coïncident ici parce que les trois triangles construits sont équilatéraux ; le triangle initial, lui, ne bénéficie pas nécessairement de cette coïncidence.

Avec trois sommets alignés, le triangle initial est aplati et les notions d’intérieur et d’extérieur ne déterminent plus trois choix cohérents comme dans l’énoncé usuel. Il faut traiter cette configuration comme un cas dégénéré, et non comme une application ordinaire du théorème.

Si le triangle initial est lui-même équilatéral, les trois centres de la construction intérieure peuvent se confondre. Le triangle intérieur a alors des côtés de longueur nulle : il est équilatéral au sens dégénéré, mais pas si la définition exige trois sommets distincts.

Une égalité seulement visuelle ne suffit pas. Sur un dessin arrondi ou mesuré, les trois longueurs peuvent différer légèrement ; il faut comparer des valeurs exactes ou tenir compte de la précision de l’outil.

Le point de Fermat prolonge l’étude des constructions équilatérales sur les côtés d’un triangle et montre comment une figure proche répond à une autre question géométrique.

La fiche sur le centre de gravité précise pourquoi l’intersection des médianes fournit les trois points utilisés dans le théorème.

La légende attribue le théorème à Napoléon Bonaparte, qui l’aurait présenté en 1787. Cette formulation prudente distingue la tradition attachée au nom d’une attribution historique établie.