point de Napoléon

Tracez un triangle, puis ajoutez sur chacun de ses côtés un triangle équilatéral tourné vers l’extérieur. Marquez le centre de chacune de ces trois nouvelles figures. Ces centres forment eux-mêmes un triangle équilatéral : c’est le théorème de Napoléon.

Reliez maintenant chaque sommet du triangle initial au centre placé en face de lui. Les trois droites se rencontrent au même endroit : le premier point de Napoléon. La construction intérieure produit un autre point, appelé second point de Napoléon.

Dans un triangle non dégénéré dont les sommets sont A, B et C, on construit extérieurement un triangle équilatéral sur chacun des côtés AB, BC et CA. Le centre du cercle circonscrit à chacun de ces triangles équilatéraux est aussi son centre géométrique. Ces trois centres sont les sommets du triangle de Napoléon extérieur. Le théorème de Napoléon affirme que ce nouveau triangle est équilatéral, quelle que soit la forme du triangle initial.

Le cercle circonscrit à chaque triangle équilatéral construit est un cercle de Napoléon. On joint le sommet A au centre du cercle associé au côté opposé BC, puis B au centre associé à CA, et C au centre associé à AB. Les trois droites sont concourantes : leur intersection est le premier point de Napoléon.

En construisant les trois triangles équilatéraux vers l’intérieur, on obtient le triangle de Napoléon intérieur et, par la même règle de concurrence, le second point de Napoléon. Les choix intérieur et extérieur doivent rester cohérents sur les trois côtés. Le point de Napoléon n’est pas le point de Fermat, aussi appelé point de Torricelli, même si les deux configurations utilisent des triangles équilatéraux associés au triangle initial.

Prenons un triangle rectangle ABC dans un repère : A a pour coordonnées (0 ; 0), B (4 ; 0) et C (0 ; 3). Ses côtés mesurent 3, 4 et 5 unités. Les trois triangles équilatéraux seront construits vers l’extérieur.

1. Sur AB, BC et CA, construisez les triangles équilatéraux extérieurs. Leur hauteur vaut la longueur du côté multipliée par √3/2, ce qui fixe sans ambiguïté les trois nouveaux sommets.

2. Prenez le centre de chaque triangle équilatéral. Pour AB, BC et CA, on obtient respectivement O_AB = (2 ; −2√3/3), O_BC = (2 + √3/2 ; 3/2 + 2√3/3) et O_CA = (−√3/2 ; 3/2).

3. Tracez AO_BC, BO_CA et CO_AB. Les trois droites passent par N ≈ (0,999 ; 0,925), le premier point de Napoléon de ce triangle.

4. Contrôlez aussi le théorème : les trois distances entre O_AB, O_BC et O_CA valent toutes $\sqrt{\frac{25}{3}+4\sqrt{3}}\approx \mathrm{3,907}\backslash sqrt\{\backslash frac\{25\}\{3\}+4\backslash sqrt\{3\}\}\backslash approx\; 3\{,\}907$ unités. Le triangle des centres est donc équilatéral, tandis que la rencontre des trois droites vérifie le point recherché.

À la règle et au compas, la construction sert à faire apparaître une symétrie inattendue à partir d’un triangle quelconque. Si l’objectif est seulement de vérifier le théorème de Napoléon, il suffit de relier les trois centres et de comparer les trois côtés obtenus.

Pour localiser le premier point de Napoléon, tracez deux des droites sommet-centre opposé ; leur intersection donne le candidat. La troisième droite fournit alors un contrôle immédiat de la concurrence.

Lorsque les triangles équilatéraux sont construits, sur chaque côté, du même côté que le sommet opposé du triangle initial, utilisez la construction intérieure. Elle conduit au second point de Napoléon, et non à une autre représentation du premier.

Théorème et point de Napoléon. Le théorème porte sur le triangle formé par les trois centres : ses côtés sont égaux. Le point porte sur trois droites : elles sont concourantes. Mesurer les côtés vérifie le premier résultat ; tracer les droites vérifie le second.

Point de Fermat, ou de Torricelli. La présence de triangles équilatéraux dans les deux configurations ne suffit pas à identifier les points. Le point de Napoléon est défini ici par les droites qui joignent chaque sommet au centre du cercle de Napoléon opposé.

Triangle et point de Napoléon. Le triangle de Napoléon a trois sommets, qui sont les centres des triangles équilatéraux construits. Le point de Napoléon est l’unique intersection des trois droites issues des sommets du triangle initial.

Intérieur et extérieur mélangés. Si un seul triangle équilatéral est construit de l’autre côté de son côté support, les trois centres n’appartiennent plus à la même configuration de Napoléon. Il faut choisir une orientation commune avant de tracer les droites.

Mauvais centre. Relier un sommet au troisième sommet du triangle équilatéral opposé ne donne pas la définition demandée. Il faut utiliser le centre de son cercle circonscrit, qui coïncide avec le centre du triangle équilatéral.

Triangle dégénéré. Lorsque A, B et C sont alignés ou que deux sommets coïncident, l’intérieur et l’extérieur du triangle initial ne sont plus définis comme dans la construction. La fiche suppose donc trois sommets distincts et non alignés.

Premier ou second point. Une figure intérieure ne constitue pas une autre façon de tracer le premier point. Elle définit le second point de Napoléon ; il faut conserver le qualificatif pour éviter une identification erronée.

Le point de Fermat permet d’étudier séparément la configuration voisine que la définition demande de ne pas confondre avec le point de Napoléon.

Le triangle de Fermat permet d’approfondir cette configuration voisine.

Le centre du cercle circonscrit précise la construction du centre employé pour chacun des trois cercles de Napoléon.