théorème de Neuberg

Imaginez un triangle entouré de trois carrés, un contre chacun de ses côtés. Marquez le centre de chaque carré, puis reliez ces trois centres : un second triangle apparaît.

Recommencez autour de ce nouveau triangle, mais en plaçant les carrés du côté où se trouve son intérieur. Les centres obtenus tombent exactement aux trois milieux des côtés du triangle de départ. Deux constructions qui semblent éloigner la figure ramènent donc à trois points très familiers.

Le théorème de Neuberg relie deux constructions successives de carrés aux milieux d'un triangle. On part d'un triangle non dégénéré ABC. Sur le côté BC, on construit le carré extérieur au triangle et l'on appelle O_A son centre. Les centres O_B et O_C sont définis de la même manière sur CA et AB. Les trois points forment le triangle O_AO_BO_C.

Sur chacun des côtés de ce triangle des centres, on construit ensuite le carré situé du côté intérieur, c'est-à-dire dans le demi-plan contenant le troisième sommet. Le centre I₁ du carré porté par O_BO_C est alors le milieu de BC. De même, le centre I₂ du carré porté par O_CO_A est le milieu de CA, et le centre I₃ du carré porté par O_AO_B est le milieu de AB.

Le mot « extérieur » fixe le premier choix de côté ; le mot « intérieur » fixe le second. Sans ces orientations, chaque segment admet deux carrés possibles et la conclusion n'est plus déterminée.

Si l'on construit extérieurement les carrés sur BC, CA et AB, puis le triangle formé par leurs centres O_A, O_B et O_C, alors les centres des carrés construits intérieurement sur O_BO_C, O_CO_A et O_AO_B sont respectivement les milieux de BC, CA et AB.

La construction se fait dans le plan à partir de trois sommets A, B et C non alignés. Chaque premier carré doit être dans le demi-plan opposé au troisième sommet : celui de BC est opposé à A, par exemple. Chaque second carré doit au contraire être dans le demi-plan contenant le troisième sommet du triangle O_AO_BO_C. Ces deux règles rendent chaque choix vérifiable.

Si A, B et C sont alignés, il n'existe plus d'intérieur du triangle initial et l'expression « carré extérieur » devient ambiguë. Il faut alors traiter la configuration comme un cas dégénéré séparé, et non appliquer directement l'énoncé.

Prenons dans un repère le triangle de sommets A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(1 ; 3). Les carrés de la première étape sont construits à l'extérieur du triangle, puis ceux de la seconde étape du côté intérieur du triangle des centres.

Données : A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(1 ; 3). La figure associée conserve ce même repère et montre les deux triangles ainsi que les trois coïncidences annoncées.

1. Pour le côté BC, son milieu est M_BC(2,5 ; 1,5) et le vecteur BC a pour coordonnées (-3 ; 3). Un quart de tour vers l'extérieur transforme ce vecteur en (3 ; 3) ; la moitié de ce vecteur, ajoutée à M_BC, donne donc O_A(4 ; 3). La même règle — milieu du côté, quart de tour vers l'extérieur, puis division par deux — appliquée cycliquement à CA et AB donne O_B(-1 ; 2) et O_C(2 ; -2).
2. Le centre du carré intérieur porté par O_BO_C est I₁(2,5 ; 1,5), qui est aussi le milieu de BC.
3. Sur O_CO_A, on obtient I₂(0,5 ; 1,5), milieu de CA.
4. Sur O_AO_B, on obtient I₃(2 ; 0), milieu de AB.

Le contrôle se refait sans les carrés : les moyennes des coordonnées de B et C donnent ((4 + 1)/2 ; (0 + 3)/2) = (2,5 ; 1,5). Les deux autres paires donnent (0,5 ; 1,5) et (2 ; 0). Les trois centres I₁, I₂ et I₃ coïncident donc bien avec les trois milieux annoncés.

Dans une construction à la règle et au compas, le théorème fournit un contrôle visuel : après les deux séries de carrés, les trois derniers centres doivent appartenir aux côtés de ABC et les partager en deux segments égaux. Si ce n'est pas le cas, il faut vérifier le côté choisi pour l'un des carrés.

Dans un logiciel de géométrie dynamique, on peut déplacer A, B ou C. Le résultat de Neuberg est préférable à une simple vérification sur une figure fixe lorsque l'on veut tester que la coïncidence résiste à la déformation du triangle.

Pour un contrôle numérique, les coordonnées des centres se calculent à l'aide de milieux et de quarts de tour. Cette méthode est préférable à la mesure graphique dès qu'une égalité exacte doit être établie.

Le théorème de Neuberg ne doit pas être confondu avec le théorème de Varignon. Neuberg part de carrés successifs et retrouve les milieux du triangle initial ; Varignon relie directement les milieux des côtés d'un quadrilatère pour former un parallélogramme. La présence d'un triangle et de deux séries de carrés tranche entre les deux résultats.

Il ne s'agit pas non plus du théorème de Pythagore. Pythagore relie les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, tandis que Neuberg identifie des points après une construction. Aucun angle droit n'est exigé dans le triangle ABC ; les angles droits appartiennent aux carrés ajoutés.

Un carré construit du mauvais côté est le piège principal. Le symptôme est qu'un centre I ne tombe pas au milieu du côté correspondant de ABC. Il faut comparer, à chaque étape, le demi-plan du carré avec la position du troisième sommet.

Un dessin presque exact ne prouve pas une coïncidence. Une petite erreur de tracé peut séparer deux points qui sont mathématiquement identiques, ou en superposer deux qui ne le sont pas. Il faut contrôler les coordonnées, les longueurs égales ou la construction des médiatrices.

Lorsque les trois sommets sont alignés, le triangle est dégénéré : son aire vaut 0 et aucun côté intérieur ou extérieur n'est défini sans convention supplémentaire. Cette configuration charnière doit être exclue de l'énoncé usuel.

Le théorème de Varignon offre un autre résultat où des milieux font apparaître une figure nouvelle, cette fois à partir d'un quadrilatère.

Une transformation géométrique permet de formaliser les quarts de tour qui relient les côtés aux centres des carrés.

La médiatrice rappelle pourquoi le centre d'un carré se trouve sur la perpendiculaire passant par le milieu de son côté.