figure de Vecten

Dessinez un triangle, puis utilisez chacun de ses côtés comme le côté d’un carré. Les trois carrés forment autour du triangle une silhouette de moulin à vent. Marquez ensuite le centre de chaque carré : ces trois nouveaux points dessinent un second triangle.

La surprise vient des alignements et des longueurs. Une droite allant d’un sommet du triangle initial au centre du carré opposé devient une hauteur du triangle des centres. La figure transforme ainsi une construction très visuelle en relations géométriques exactes.

La figure de Vecten part d’un triangle dont les sommets sont nommés A, B et C. On construit un carré sur chacun de ses côtés, tous vers l’extérieur ou tous vers l’intérieur. Le point I est le centre du carré porté par le côté BC, le point J celui du carré porté par AC et le point K celui du carré porté par AB.

Les centres I, J et K forment un nouveau triangle. Le segment reliant A à I a la même longueur que le segment reliant J à K. De plus, la droite (AI) est perpendiculaire à (JK), la droite (BJ) à (IK), et la droite (CK) à (IJ). Ces trois droites portent donc les hauteurs du triangle IJK. Leur point de concours, c’est-à-dire l’orthocentre de IJK, est appelé point de Vecten du triangle ABC.

La construction peut se faire avec les carrés extérieurs ou avec les carrés intérieurs ; il faut conserver le même choix pour les trois côtés. Quand ABC est rectangle, l’ensemble des trois carrés et du triangle est aussi nommé moulin à vent. Cette forme fournit la démonstration du théorème de Pythagore attribuée à Euclide dans les Éléments.

Données. Dans un repère orthonormé, le sommet A a pour coordonnées (0 ; 0), le sommet B (4 ; 0) et le sommet C (0 ; 3). Les trois carrés sont construits à l’extérieur du triangle rectangle ABC.

1. Le centre K du carré porté par AB est (2 ; −2).
2. Le centre J du carré porté par AC est (−1,5 ; 1,5).
3. Le côté BC correspond au déplacement (−4 ; 3). Le déplacement perpendiculaire vers l’extérieur est (3 ; 4), donc le centre I est (3,5 ; 3,5).
4. Le point de concours des droites (AI), (BJ) et (CK) est (6/7 ; 6/7).

Contrôle. Du point A au point I, le déplacement est (3,5 ; 3,5). Du point J au point K, il est (3,5 ; −3,5). Les deux longueurs valent donc $\sqrt{{\mathrm{3,5}}^2+{\mathrm{3,5}}^2}=\frac{7}{\sqrt{2}}\backslash sqrt\{3\{,\}5^2+3\{,\}5^2\}=\backslash frac\{7\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$. Leur produit scalaire est nul : les segments AI et JK sont aussi perpendiculaires.

Sur papier, la figure sert d’exercice de construction : on trace les trois carrés, leurs diagonales pour trouver leurs centres, puis le triangle IJK. Si la précision du dessin devient insuffisante, un logiciel de géométrie dynamique permet de déplacer A, B ou C tout en conservant les carrés.

Pour contrôler la propriété principale, on mesure AI et JK, puis on vérifie leur perpendicularité. Les mesures donnent seulement un accord à la précision de l’outil ; une démonstration reste nécessaire pour conclure à l’égalité exacte.

Avec un triangle rectangle, on privilégie la disposition en moulin à vent lorsque l’objectif est d’étudier le théorème de Pythagore. Pour un triangle quelconque, le triangle des centres met plutôt en évidence les trois hauteurs et le point de Vecten.

Figure et point de Vecten. La figure de Vecten est toute la construction formée par le triangle, les carrés et leurs centres. Le point de Vecten est seulement l’orthocentre du triangle IJK. Un dessin des trois carrés sans ce point reste donc une figure de Vecten.

Orthocentre de ABC et orthocentre de IJK. Le point de Vecten appartient à la seconde construction : il est le concours des hauteurs de IJK portées par (AI), (BJ) et (CK). Il ne faut pas le chercher en traçant les hauteurs du triangle ABC.

Carrés intérieurs ou extérieurs. Les deux variantes sont admises, mais elles donnent des centres différents. Un mélange de carrés placés de part et d’autre des côtés ne correspond pas à l’une des deux configurations annoncées ; il faut choisir un même côté pour les trois constructions.

Triangle aplati. Si A, B et C sont alignés, ABC n’est plus un triangle non dégénéré. Les formulations en termes de hauteurs et d’orthocentre perdent alors leur cadre habituel ; il faut commencer par vérifier que les trois sommets ne sont pas alignés.

Égalité mesurée. Sur un dessin, AI et JK peuvent sembler légèrement différents à cause du tracé ou de l’instrument. Le critère mathématique est une égalité exacte ; expérimentalement, on attend seulement un écart compatible avec la précision de mesure.

Cas rectangle. Le nom de moulin à vent et le lien direct avec la démonstration du théorème de Pythagore concernent le cas où l’un des angles de ABC vaut 90°. Pour un autre angle, la figure de Vecten existe toujours, mais ce cas particulier ne s’applique pas.

L’article Orthocentre précise pourquoi les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes et éclaire la définition du point de Vecten.

La fiche théorème de Pythagore replace le moulin à vent dans le cas particulier des triangles rectangles.

L’article Dans l'œil d'Euclide prolonge la mention des Éléments par un regard sur la géométrie euclidienne.