GéométrieObjet géométrique · Glossaire
centre du cercle circonscrit
Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point d'intersection des trois médiatrices des côtés de ce triangle. Ce point, souvent noté O, est équidistant des trois sommets du triangle : il est le centre de l'unique cercle passant par ces trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle. Si le triangle est rectangle, ce centre est le milieu de l'hypoténuse. Si le triangle est acutangle, il se trouve à l'intérieur du triangle ; s'il est obtusangle, il se trouve à l'extérieur.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le circumcentre comme l'intersection des médiatrices.
- Construire le cercle circonscrit et contrôler l'équidistance aux sommets.
- Situer le centre dans les triangles acutangle, rectangle et obtusangle.
- Distinguer le circumcentre de l'orthocentre et du centre de gravité.
En clair
Tracez un triangle, puis cherchez un point placé à la même distance de ses trois sommets. Pour le trouver, construisez la médiatrice de deux côtés : leur croisement donne le point recherché. La troisième médiatrice passe aussi par ce point.
En posant la pointe d'un compas sur ce centre et en l'ouvrant jusqu'à un sommet, le cercle tracé passe également par les deux autres.
Définition
Le centre du cercle circonscrit, aussi appelé circumcentre, est un point remarquable d'un triangle. Pour un triangle de sommets A, B et C, on le note souvent O. Il appartient aux trois médiatrices, c'est-à-dire aux droites perpendiculaires aux côtés passant par leurs milieux. Deux médiatrices suffisent donc pour construire O ; la troisième fournit un contrôle.
Tout point d'une médiatrice est équidistant des extrémités du côté correspondant. L'appartenance de O à deux médiatrices entraîne ainsi . Cette distance commune est le rayon de l'unique cercle passant par A, B et C.
La position de O révèle la nature du triangle. Dans un triangle acutangle, dont les trois angles sont aigus, O est intérieur. Dans un triangle rectangle, O est le milieu de l'hypoténuse. Dans un triangle obtusangle, qui possède un angle obtus, O est extérieur.
De quoi c'est fait
La construction réunit quatre éléments nécessaires : les trois sommets du triangle, ses trois côtés, les médiatrices de ces côtés et leur point commun O. Chaque médiatrice dépend d'un côté : elle passe par son milieu et lui est perpendiculaire. Son rôle est de rassembler tous les points équidistants des deux sommets de ce côté.
Le croisement de deux médiatrices fixe O. La distance de O à l'un des sommets fixe ensuite le rayon ; l'égalité des trois distances garantit que le même cercle passe par les trois sommets. La taille, l'orientation et la couleur du dessin ne définissent pas le circumcentre. Seules comptent les relations de milieu, de perpendicularité et d'équidistance.
Un exemple, pas à pas
Considérons le triangle ABC rectangle en A. Le côté AB mesure 8 cm, le côté AC mesure 6 cm et l'hypoténuse BC mesure 10 cm. Dans un repère gradué en centimètres, les sommets ont pour coordonnées A(0 ; 0), B(8 ; 0) et C(0 ; 6).
1. Vérifiez que le triangle est rectangle : .
2. Prenez le milieu de l'hypoténuse BC. Ses coordonnées sont la moyenne de celles de B et de C : O(4 ; 3).
3. Calculez la distance OA : .
2. Prenez le milieu de l'hypoténuse BC. Ses coordonnées sont la moyenne de celles de B et de C : O(4 ; 3).
3. Calculez la distance OA : .
Le point O est donc le centre du cercle circonscrit et son rayon vaut 5 cm. La figure rend visibles les deux médiatrices des côtés perpendiculaires et le cercle passant par A, B et C.
Le contrôle se refait directement : OB vaut 5 cm et OC vaut aussi 5 cm. Les trois sommets appartiennent bien au cercle de centre O et de rayon 5 cm.
En pratique
Pour construire le cercle passant par les trois sommets d'un triangle, tracez deux médiatrices. Leur intersection donne le centre ; la distance jusqu'à un sommet donne l'ouverture du compas. Une troisième médiatrice sert de contrôle si le tracé manque de précision.
Dans un triangle rectangle, utilisez directement le milieu de l'hypoténuse. Cette voie est plus courte que la construction de deux médiatrices dès qu'un angle droit est établi.
Pour déterminer la nature d'un triangle à partir d'une figure fiable, observez la position du circumcentre : intérieur pour un triangle acutangle, sur l'hypoténuse pour un triangle rectangle, extérieur pour un triangle obtusangle.
À ne pas confondre
Avec l'orthocentre. L'orthocentre est l'intersection des hauteurs, tandis que le circumcentre est l'intersection des médiatrices. Dans un triangle rectangle, l'orthocentre est le sommet de l'angle droit, mais le circumcentre est le milieu de l'hypoténuse.
Avec le centre de gravité. Le centre de gravité est l'intersection des médianes, qui relient chaque sommet au milieu du côté opposé. Le circumcentre est, lui, équidistant des sommets ; cette égalité fournit le critère qui tranche.
Avec le centre du cercle inscrit. Le centre du cercle inscrit est équidistant des trois côtés et se trouve à l'intersection des bissectrices. Le circumcentre est équidistant des trois sommets.
Limites et pièges
Triangle rectangle. Le centre n'est ni strictement intérieur ni extérieur : il se trouve exactement au milieu de l'hypoténuse. La présence d'un angle de 90° est le cas charnière entre les positions intérieure et extérieure.
Triangle obtusangle. Les segments de médiatrices visibles à l'intérieur peuvent sembler ne jamais se rencontrer. Il faut prolonger les médiatrices comme des droites : leur intersection apparaît à l'extérieur du triangle.
Trois points alignés. Ils ne forment pas un triangle ordinaire et aucun cercle ne passe par les trois. Les médiatrices des segments joignant ces points sont alors parallèles ; il ne faut pas chercher un centre fini.
Pour aller plus loin
Médiatrice — Approfondissez la propriété d'équidistance qui fonde toute la construction du circumcentre.
Orthocentre — Comparez deux points remarquables obtenus avec des droites différentes dans le triangle.
centre de gravité — Distinguez l'intersection des médianes du point équidistant des trois sommets.
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