triangle de Fermat

Imaginez un triangle dessiné sur une feuille. Sur chacun de ses trois côtés, construisez un triangle équilatéral du même côté de la frontière, à l’extérieur du triangle de départ. Les trois sommets nouvellement obtenus forment à leur tour un triangle : c’est le triangle extérieur de Fermat. Le même geste réalisé dans la région intérieure donne le triangle intérieur de Fermat. La construction dépend donc à la fois des côtés choisis et du côté où sont placés les petits triangles équilatéraux.

Soit ABC un triangle non dégénéré, c’est-à-dire trois points non alignés. Sur chacun de ses côtés AB, BC et CA, on construit un triangle équilatéral, dont les trois côtés ont la longueur du côté support. Pour la construction extérieure, chaque nouveau sommet est choisi dans le demi-plan opposé au troisième sommet de ABC par rapport au côté considéré. Si ces nouveaux sommets sont respectivement A′ sur BC, B′ sur CA et C′ sur AB, ils définissent le triangle A′B′C′, appelé triangle extérieur de Fermat. La notation précise quel côté porte chaque construction ; elle évite de confondre le sommet A avec le sommet ajouté sur le côté BC. En choisissant les demi-plans intérieurs, on obtient de manière symétrique le triangle intérieur de Fermat. Le triangle formé par les centres des trois triangles équilatéraux extérieurs est une autre construction : il s’agit du triangle extérieur de Napoléon, et non du triangle extérieur de Fermat.

La construction utilise six sommets et trois triangles équilatéraux. Les points A, B et C sont les sommets du triangle initial. Les côtés AB, BC et CA sont les trois segments supports. Chaque côté reçoit un triangle équilatéral, dont le troisième sommet — A′ sur BC, B′ sur CA ou C′ sur AB — est le point ajouté. Enfin, A′B′C′ est le triangle de Fermat construit à partir de ces trois points. Le côté choisi détermine donc le sommet ajouté, tandis que le choix du demi-plan détermine l’orientation intérieure ou extérieure. La longueur d’un côté équilatéral est imposée par le côté support ; sa couleur, son épaisseur de tracé et son échelle de dessin ne définissent pas la figure. Ces données suffisent à construire les trois triangles équilatéraux, puis à relier leurs sommets ajoutés pour obtenir A′B′C′. Les centres de ces triangles ne servent pas à cette construction : ils conduisent au triangle de Napoléon.

Prenons le triangle ABC rectangle en A, avec AB = 4 et AC = 3. Plaçons A(0, 0), B(4, 0) et C(0, 3) dans un repère orthonormé. Les données utiles sont donc les trois sommets, les longueurs AB = 4, AC = 3 et BC = 5, cette dernière valeur venant du théorème de Pythagore.

Sur AB, le sommet équilatéral extérieur est C′(2, −2√3), car le côté mesure 4 et le triangle est placé sous AB.
Sur BC, le sommet extérieur est A′(2 + 3√3∕2, 3∕2 + 2√3), du côté opposé à A.
Sur CA, le sommet équilatéral extérieur est B′(−3√3∕2, 3∕2), du côté opposé à B.
On relie ensuite A′, B′ et C′ : ces trois points forment le triangle extérieur de Fermat.

Le contrôle est local : chaque nouveau sommet doit être à égale distance des deux extrémités du côté support, et la troisième distance doit être la même. Par exemple, pour C′, on vérifie C′A = C′B = 4. La position sous AB confirme en outre le choix extérieur.

À la règle et au compas, on trace d’abord le triangle ABC, puis un cercle de centre A et de rayon AB et un cercle de centre B et de rayon AB. Leur intersection située à l’extérieur fournit le sommet du triangle équilatéral construit sur AB. On répète le procédé sur BC et CA, en choisissant chaque fois le demi-plan extérieur.

Dans un logiciel de géométrie dynamique, les trois sommets ajoutés peuvent rester liés aux côtés supports. Cette alternative est préférable lorsque le triangle ABC est déplacé, car la construction se recalcule sans perdre les égalités de longueurs. Un dessin à main levée convient pour l’intuition, mais pas pour vérifier une position ou une distance.

Le triangle extérieur de Fermat ne doit pas être confondu avec le triangle extérieur de Napoléon. Le premier relie les trois sommets ajoutés des triangles équilatéraux extérieurs ; le second relie leurs centres. Le test est concret : un sommet ajouté appartient au bord d’un triangle équilatéral, tandis qu’un centre est à égale distance de ses trois sommets et se trouve en son milieu géométrique. Dans la construction sur ABC, relier les sommets donne Fermat ; relier les centres donne Napoléon.

Le mot « extérieur » n’est pas décoratif : pour chaque côté, il faut choisir le demi-plan qui ne contient pas le troisième sommet de ABC. Si un sommet ajouté est placé du mauvais côté, on obtient une construction intérieure ou une figure mélangée, et le triangle annoncé n’est plus celui de la définition. Il faut donc vérifier séparément les trois côtés, surtout pour un triangle obtus ou très aplati.

Le cas limite est le triangle dégénéré, lorsque A, B et C sont alignés. Il n’existe alors pas de région intérieure bien définie pour ABC, et la distinction uniforme entre construction intérieure et extérieure disparaît. La définition ordinaire suppose donc trois sommets non alignés. Pour un triangle presque aplati, la construction existe encore, mais la lecture du côté extérieur devient visuellement trompeuse : le choix doit être fait par les demi-plans, non à l’œil seul.

Une fois la construction maîtrisée, on peut étudier les relations métriques entre ABC, les trois triangles équilatéraux et A′B′C′. Le point de Fermat, notion apparentée mais distincte, concerne quant à lui un point qui minimise une somme de distances sous certaines conditions ; il ne se confond pas avec le triangle formé par les sommets ajoutés. Cette distinction permet de passer de la figure construite aux problèmes d’optimisation géométrique sans mélanger deux objets.