théorème de Thébault

Dessinez un parallélogramme, puis ajoutez un carré vers l’extérieur sur chacun de ses quatre côtés. Marquez le centre de chaque carré et reliez ces quatre points dans l’ordre : ils forment à leur tour un carré, même si le parallélogramme de départ est penché.

Cette construction est le premier des trois problèmes associés au nom de Victor Thébault. Les deux autres font apparaître, dans des configurations différentes, un triangle équilatéral et un alignement de centres de cercles.

Le théorème de Thébault désigne en réalité trois problèmes distincts de géométrie euclidienne proposés par le mathématicien français Victor Thébault (1882–1960). Le premier part d’un parallélogramme quelconque nommé ABCD. Sur chacun de ses côtés, on construit extérieurement un carré. Si M, N, O et P sont les centres de ces carrés pris dans l’ordre, le quadrilatère MNOP est un carré. Posé en 1937 et démontré par Thébault en 1938, ce résultat est un analogue, pour les quadrilatères, du théorème de Napoléon consacré aux triangles.

Le deuxième problème part d’un carré ABCD. Deux triangles équilatéraux ABL et BCM sont construits extérieurement sur deux côtés consécutifs. Le triangle LMD est alors équilatéral.

Le troisième problème, appelé théorème de Sawayama-Thébault, considère un triangle ABC et un point D du segment [BC]. Le cercle circonscrit à ABC est noté (C), et Q est le centre du cercle inscrit. Le point N est le centre du cercle tangent intérieurement à (C) et tangent à [DC] et [DA]. Le point P est défini de même avec [DB] et [DA]. La conclusion est l’alignement de P, Q et N.

Si quatre carrés sont construits extérieurement sur les côtés d’un parallélogramme, alors leurs centres successifs sont les sommets d’un carré.

Si deux triangles équilatéraux sont construits extérieurement sur deux côtés consécutifs d’un carré ABCD, avec pour nouveaux sommets L et M, alors LMD est équilatéral.

Enfin, dans la configuration de Sawayama-Thébault, si les deux cercles définis sont tangents intérieurement au cercle circonscrit et aux paires de segments indiquées, alors leurs centres P et N sont alignés avec le centre Q du cercle inscrit.

Chaque résultat possède son propre domaine. Pour le premier, la figure initiale doit être un parallélogramme et les quatre carrés doivent être construits extérieurement. Pour le deuxième, les triangles sont équilatéraux et construits extérieurement sur deux côtés consécutifs du carré. Pour le troisième, D appartient au segment [BC] et les deux cercles satisfont simultanément les trois tangences précisées.

Si la figure de départ est un quadrilatère qui n’est pas connu comme un parallélogramme, l’hypothèse du premier problème manque : on ne peut pas conclure que les quatre centres forment un carré. Il faut alors employer le théorème d’Aubel, qui garantit seulement que les segments joignant les centres de carrés opposés sont perpendiculaires et de même longueur.

Prenons le parallélogramme dont les sommets, dans l’ordre, sont A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(5 ; 2) et D(1 ; 2). Construisons extérieurement un carré sur chaque côté.

1. En prenant le milieu de chaque côté puis en se décalant vers l’extérieur d’une demi-longueur perpendiculaire, on obtient les centres M, N, O et P : $M=(2,-2),N=(\frac{11}{2},\frac{1}{2}),O=(3,4),P=(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})M=(2,-2),\backslash quad\; N=(\backslash frac\{11\}\{2\},\backslash frac\{1\}\{2\}),\backslash quad\; O=(3,4),\backslash quad\; P=(-\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash frac\{3\}\{2\})$.

2. Les vecteurs de deux côtés consécutifs du quadrilatère des centres sont : $\overrightarrow{MN}=(\frac{7}{2},\frac{5}{2})\text{et}\overrightarrow{NO}=(-\frac{5}{2},\frac{7}{2})\backslash overrightarrow\{MN\}=(\backslash frac\{7\}\{2\},\backslash frac\{5\}\{2\})\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\backslash overrightarrow\{NO\}=(-\backslash frac\{5\}\{2\},\backslash frac\{7\}\{2\})$.

3. Leurs longueurs sont égales, car $M{N}^2=N{O}^2=\frac{49}{4}+\frac{25}{4}=\frac{37}{2}MN^2=NO^2=\backslash frac\{49\}\{4\}+\backslash frac\{25\}\{4\}=\backslash frac\{37\}\{2\}$.

4. Leur produit scalaire vaut $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{NO}=-\frac{35}{4}+\frac{35}{4}=0\backslash overrightarrow\{MN\}\backslash cdot\backslash overrightarrow\{NO\}=-\backslash frac\{35\}\{4\}+\backslash frac\{35\}\{4\}=0$. Les côtés MN et NO sont donc perpendiculaires, mais il reste à contrôler la fermeture du quadrilatère.

5. Les deux autres vecteurs sont $\overrightarrow{OP}=-\overrightarrow{MN}\text{et}\overrightarrow{PM}=-\overrightarrow{NO}\backslash overrightarrow\{OP\}=-\backslash overrightarrow\{MN\}\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\backslash overrightarrow\{PM\}=-\backslash overrightarrow\{NO\}$. MNOP est ainsi un parallélogramme ayant un angle droit et deux côtés consécutifs égaux : c’est un carré, de côté $\sqrt{\frac{37}{2}}\backslash sqrt\{\backslash frac\{37\}\{2\}\}$.

Dans une construction sur un parallélogramme, relier les quatre centres évite de comparer quatre angles et quatre longueurs séparément : le premier résultat donne directement la nature du quadrilatère obtenu. Si la figure de départ n’est pas un parallélogramme, le théorème d’Aubel est l’outil adapté.

Dans un carré portant deux triangles équilatéraux, le critère à vérifier est leur construction extérieure sur deux côtés consécutifs. On peut alors conclure que le triangle formé avec le sommet opposé est équilatéral.

Dans un problème de cercles tangents inscrit dans un triangle, la présence du point D sur [BC] et des deux triples tangences signale la configuration de Sawayama-Thébault. Le résultat remplace alors une recherche d’angles par un alignement de trois centres.

Le théorème de Napoléon concerne les triangles. Le premier problème de Thébault concerne un parallélogramme et les centres de quatre carrés extérieurs ; la figure de départ les distingue immédiatement.

Le théorème d’Aubel concerne un quadrilatère quelconque et conclut que deux segments entre centres opposés sont égaux et perpendiculaires. Le premier problème de Thébault exige un parallélogramme et conclut plus fortement que les quatre centres forment un carré.

Le singulier « théorème de Thébault » est un usage collectif : il ne suffit pas à identifier l’énoncé. Il faut préciser le numéro du problème ou nommer la configuration concernée.

Dans le premier problème, « extérieurement » fixe le côté de construction des quatre carrés. Si l’un d’eux est construit vers l’intérieur, les centres utilisés ne sont plus ceux de la configuration annoncée et la conclusion ne s’applique pas.

Dans le deuxième problème, les deux triangles doivent être construits extérieurement. Toute construction intérieure sort de la configuration annoncée ; il ne faut alors pas conclure que LMD est équilatéral.

Dans le troisième problème, une simple tangence au cercle circonscrit ne suffit pas. Chacun des deux cercles doit aussi être tangent aux deux segments qui lui sont assignés, et D doit rester sur [BC] ; sinon l’alignement P, Q, N n’est pas garanti par cet énoncé.

Le théorème de Napoléon permet de comparer la construction de Thébault sur un parallélogramme à son analogue fondé sur un triangle.

La fiche sur le cercle inscrit précise le rôle du centre Q dans la configuration de Sawayama-Thébault.

L’histoire du troisième problème distingue aussi l’énoncé de ses preuves. Le mathématicien néerlandais H. Streefkerk a publié en 1973 la première démonstration alors connue. Des recherches ont ensuite établi que Y. Sawayama, instructeur à l’école militaire de Tokyo, en avait déjà donné une en 1905. Jean-Louis Ayme en a publié une solution purement synthétique en 2003.