cercles de Miquel

Tracez un triangle, choisissez un point sur chacun de ses côtés, puis dessinez les cercles passant par chaque sommet et les deux points voisins. Les trois cercles semblent construits séparément, mais ils passent tous par un même point supplémentaire : le point de Miquel.

Cette rencontre cachée est le fil conducteur des théorèmes de Miquel. Selon la configuration, elle sert aussi à relier l’appartenance à un cercle et l’alignement de plusieurs points.

Les cercles de Miquel désignent plusieurs théorèmes de géométrie du cercle établis par Auguste Miquel au milieu du XIX^e siècle. Dans le théorème des trois cercles, trois cercles C₁, C₂ et C₃ passent par un même point O. On suppose que chaque paire se coupe en deux points distincts : C₁ et C₂ en O et M, C₂ et C₃ en O et N, C₁ et C₃ en O et P. Si A est un point de C₁, distinct de M et P, tel que la droite MA recoupe C₂ en un second point B distinct de M et que la droite PA recoupe C₃ en un second point C distinct de P, alors B, N et C sont alignés.

La réciproque part d’un triangle ABC et de trois points M, N et P placés respectivement sur AB, BC et CA. Les cercles circonscrits aux triangles AMP, BMN et CNP ont un point commun O, appelé point de Miquel du triangle. Dans un quadrilatère complet ABCDEF, les cercles circonscrits à EAD, EBC, FAB et FDC sont eux aussi concourants en un point de Miquel. Leurs quatre centres et ce point appartiennent au cercle de Miquel ; ce résultat démontré en 1838 a ensuite reçu le nom de théorème du pivot.

Quatre cercles : transférer un constat d’alignement ou de cocyclicité. On nomme A₁ et B₁ les intersections de C₁ avec C₂, A₂ et B₂ celles de C₂ avec C₃, A₃ et B₃ celles de C₃ avec C₄, puis A₄ et B₄ celles de C₄ avec C₁. Les points A₁, A₂, A₃ et A₄ sont alignés ou cocycliques si et seulement si les points B₁, B₂, B₃ et B₄ le sont.
Sixième cercle : reconnaître une cocyclicité globale dans un pentagone. Pour un pentagone ABCDE, les points F, G, H, I et J sont respectivement les intersections de EA avec BC, de AB avec CD, de BC avec DE, de CD avec EA et de DE avec AB. Outre les sommets B, C, D, E et A qu’ils partagent successivement, chacune des cinq paires successives de cercles circonscrits à ABF, BCG, CDH, DEI et EAJ possède une seconde intersection. Ces cinq secondes intersections appartiennent à un sixième cercle, qui contient aussi les centres des cinq cercles.

Considérons le triangle de sommets A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 6). Plaçons M(2 ; 0) sur AB, N(3 ; 3) sur BC et P(0 ; 2) sur CA. Il faut vérifier que les cercles circonscrits à AMP, BMN et CNP ont bien un second point commun.

1. Pour le cercle passant par A, M et P, la médiatrice de AM est la droite x = 1 et celle de AP la droite y = 1. Leur intersection donne le centre K₁(1 ; 1), puis K₁A = √2 donne le rayon.
2. En appliquant les mêmes médiatrices aux segments BM et BN, on obtient le centre K₂(4 ; 1) et le rayon √5.
3. Le même calcul avec CN et CP donne le centre K₃(1 ; 4) et le rayon √5.

Prenons le point O de coordonnées (2 ; 2). Ses distances aux trois centres vérifient :

O est donc sur les trois cercles. Le contrôle est refaisable en comparant chaque distance K_iO au rayon correspondant ; O est distinct de M, N et P.

Dans un triangle muni d’un point sur chaque côté, on construit les trois cercles circonscrits aux triangles formés autour des sommets. Le théorème de Miquel est alors préférable à trois recherches d’intersection séparées : il donne directement leur point commun.

Dans une figure issue de quatre droites, on repère d’abord le quadrilatère complet et ses quatre triangles. Le théorème du pivot s’applique lorsque les quatre cercles circonscrits correspondent exactement à EAD, EBC, FAB et FDC ; sinon, il faut revenir aux incidences réellement présentes.

Avec une chaîne de quatre cercles, on étiquette sans ambiguïté les deux intersections de chaque paire successive. La relation de Miquel permet alors de transférer le constat « alignés ou cocycliques » de la famille des points A à celle des points B, ou dans l’autre sens.

Point de Miquel et centre d’un cercle. Le point de Miquel est caractérisé par son appartenance simultanée à plusieurs cercles. Le centre d’un cercle est, lui, équidistant des points de ce cercle. Dans l’exemple, O(2 ; 2) appartient aux trois cercles, tandis que leurs centres sont K₁(1 ; 1), K₂(4 ; 1) et K₃(1 ; 4).

Cercle de Miquel et cercles concourants. Dans le théorème du quadrilatère complet, les quatre cercles circonscrits sont ceux qui se rencontrent au point O. Le cercle de Miquel mentionné par la source est un autre cercle : il passe par O et par les centres de ces quatre cercles.

Trois points alignés. Un cercle circonscrit à un triangle n’est défini que si ses trois sommets ne sont pas alignés. Si, par exemple, A, M et P sont alignés, le cercle AMP n’existe pas dans le cadre euclidien usuel et le théorème ne s’applique pas sous cette forme.

Intersection non distincte. L’expression « autre point d’intersection » suppose deux intersections distinctes. Si deux cercles sont tangents en O, aucun second point M, N ou P distinct ne peut être choisi ; il faut traiter la tangence séparément.

Droites parallèles. L’énoncé euclidien du quadrilatère complet exige que les points E et F employés dans ses triangles soient effectivement définis. Si les droites censées les produire sont parallèles, la configuration de la source est incomplète et ne doit pas être invoquée telle quelle.

Étiquettes échangées. Dans le théorème des quatre cercles, chaque A_i et chaque B_i doit rester attaché à la même paire de cercles. Une permutation isolée détruit les deux familles correspondantes ; il faut rétablir un étiquetage cohérent avant de conclure à l’alignement ou à la cocyclicité.

Le glossaire quadrilatère complet précise la configuration de droites qui porte le théorème du pivot.

La fiche Cocycliques approfondit le critère commun aux théorèmes des quatre cercles et du sixième cercle.

La fiche centre du cercle circonscrit aide à distinguer les centres des cercles et leur point de Miquel commun.