GéométrieNotion · Glossaire
problème des 5 cercles
Dans une étoile à cinq branches, chaque triangle formé par une branche possède un cercle circonscrit. On suppose que deux cercles voisins se coupent en deux points distincts : un sommet du pentagone central et un autre point. Dans la configuration non dégénérée considérée, les cinq autres points sont distincts et au moins trois d’entre eux ne sont pas alignés. Le problème des cinq cercles affirme qu’ils sont cocycliques, autrement dit qu’un même cercle passe par eux.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les cinq cercles circonscrits associés aux pointes de l’étoile.
- Sélectionner le bon point dans chaque paire d’intersections consécutives.
- Formuler la conclusion de Clifford en termes de points cocycliques.
- Reconnaître les cas dégénérés où la construction ordinaire n’est pas définie.
En clair
Tracez une étoile à cinq branches et regardez les cinq petits triangles qui en forment les pointes. Autour de chacun, dessinez le cercle passant par ses trois sommets. Deux cercles voisins se rencontrent au bord du pentagone central, puis en un autre point.
Le résultat surprenant porte sur ces cinq autres intersections : un sixième cercle passe par elles toutes. La figure peut sembler très chargée, mais le phénomène tient donc en un geste simple : suivre les paires de cercles voisines et conserver chaque fois l’autre intersection, celle qui n’est pas le sommet central commun.
Définition
Le problème des 5 cercles est un théorème de géométrie associé à William Kingdon Clifford. Dans une étoile à cinq branches, chacun des cinq triangles des pointes possède un cercle circonscrit, c’est-à-dire le cercle passant par ses trois sommets. Numérotons ces cercles C1, C2, C3, C4 et C5 dans l’ordre autour de l’étoile, puis considérons C1 comme le cercle suivant C5.
Chaque paire de cercles consécutifs se coupe en deux points distincts. Le premier est le sommet du pentagone central commun aux deux triangles concernés. Appelons Pi l’autre intersection de Ci et du cercle suivant. Dans la configuration non dégénérée considérée, les cinq points P1, P2, P3, P4 et P5 sont distincts et au moins trois d’entre eux ne sont pas alignés. Le théorème affirme qu’ils sont cocycliques : il existe un même cercle qui passe par ces cinq points.
Le cercle obtenu est distinct des cinq cercles circonscrits de départ. Le résultat appartient à la théorie des configurations de Miquel, qui étend ce type de propriété de cocyclicité à des configurations géométriques plus générales. Ici, l’ordre cyclique des cinq cercles et le choix du second point d’intersection sont les données décisives.
Un exemple, pas à pas
Prenons comme données une étoile régulière à cinq branches, ses cinq triangles de pointe numérotés dans le sens horaire et leurs cercles circonscrits C1 à C5. La régularité rend la construction lisible, mais le contrôle porte bien sur les intersections.
Étape 1. Pour chaque triangle de pointe, repérez ses trois sommets, puis tracez l’unique cercle qui passe par ces trois points.
Étape 2. Examinez C1 et C2. Leur première intersection est un sommet du pentagone central ; nommez P1 leur autre intersection.
Étape 3. Répétez le même choix pour C2 et C3, puis autour de l’étoile jusqu’à la paire C5 et C1. Vous obtenez P1 à P5.
Étape 4. Tracez le cercle passant par P1, P2 et P3. Sur cette construction, P4 et P5 appartiennent aussi à ce cercle : c’est le résultat de Clifford. Le contrôle est refaisable en vérifiant successivement que chacun des cinq points est sur la circonférence rouge.
En pratique
Dans une construction sur papier ou dans un logiciel de géométrie, commencez par numéroter les cercles autour de l’étoile. Pour chaque paire voisine, marquez le sommet déjà connu du pentagone central, puis sélectionnez l’autre intersection. Ce repérage évite de mélanger les deux familles de points.
Pour tester la cocyclicité sur un dessin, trois des points Pi déterminent un cercle dès lors qu’ils ne sont pas alignés. Vérifiez ensuite si les deux points restants sont sur cette circonférence. Un contrôle visuel suggère le résultat ; une démonstration reste nécessaire lorsque l’on veut établir le théorème.
Face à une configuration de cercles plus générale, cherchez plutôt une structure de Miquel si les triangles ne sont plus exactement les cinq pointes d’une étoile. Le critère observable est la présence de plusieurs cercles issus de figures reliées et d’intersections que l’on soupçonne cocycliques.
À ne pas confondre
Points cocycliques et cercles concourants. Des points sont cocycliques lorsqu’un même cercle passe par eux. Des cercles sont concourants lorsqu’ils passent par un même point. Ici, la conclusion concerne les cinq points Pi, et non un point commun aux cinq cercles de départ.
Cercles circonscrits et cercle final. Chacun des cinq premiers cercles est défini par les trois sommets d’un triangle de pointe. Le cercle final est défini par les seconds points d’intersection de cercles voisins. Vérifier quels points appartiennent au cercle suffit à distinguer les deux constructions.
Limites et pièges
Un ordre arbitraire ne convient pas. Le théorème associe chaque cercle au suivant dans l’ordre cyclique de l’étoile. Si l’on choisit des paires non voisines, les points obtenus ne sont pas ceux de l’énoncé ; il faut rétablir le voisinage autour des cinq pointes.
Le « second point » doit exister. Si deux cercles consécutifs sont tangents, ils n’ont qu’un point d’intersection distinct. S’ils sont confondus, leurs intersections ne déterminent aucun second point unique. Dans ces cas dégénérés, la construction décrite par l’énoncé n’est pas directement définie.
Chaque cercle de départ doit être défini. Trois sommets alignés ne déterminent pas de cercle circonscrit. Si un triangle de pointe s’aplatit ainsi, il faut traiter la configuration comme un cas limite plutôt que poursuivre la construction ordinaire.
La symétrie du dessin n’est pas la conclusion. Dans l’exemple régulier, le cercle final est facile à pressentir. Une figure presque symétrique ne prouve pourtant aucune cocyclicité : il faut identifier exactement les cinq seconds points et établir qu’ils appartiennent au même cercle.
Pour aller plus loin
La notion de points cocycliques donne le vocabulaire et les critères utiles pour reconnaître la conclusion du théorème. Elle permet de replacer le cercle de Clifford parmi les configurations où plusieurs points appartiennent à une même circonférence.
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