lemme de Miquel

Dessinez un triangle, marquez un point sur chacun de ses côtés, puis tracez le cercle passant par chaque sommet et les deux marques voisines. Les deux premiers cercles se recoupent en un nouveau point. Le lemme de Miquel affirme que le troisième cercle passe lui aussi par ce point.

Cette rencontre n'est donc pas un heureux hasard du dessin : l'emplacement des trois marques peut varier le long des côtés, la concurrence demeure dans une configuration régulière, où les cercles sont distincts et ne sont pas tangents à la marque qu'ils ont déjà en commun.

Le lemme de Miquel est un résultat de géométrie du cercle. Dans un triangle dont les sommets sont A, B et C, on choisit un point P sur le côté AB, un point M sur le côté BC et un point N sur le côté CA. On considère alors les cercles circonscrits aux triangles APN, BPM et CMN. Lorsque ces cercles sont distincts et que deux cercles voisins ne sont pas tangents en leur point commun déjà connu, ils ont un second point commun, appelé point de Miquel de cette configuration.

Chaque cercle est déterminé par trois points non alignés. Les points choisis peuvent appartenir aux segments du triangle ou, dans une formulation étendue, aux droites qui portent ses côtés. La conclusion porte sur le second point d'intersection des cercles voisins : leur premier point commun est déjà P, M ou N selon la paire considérée.

Le résultat s'étend au quadrilatère complet : les quatre cercles circonscrits à ses triangles sont concourants. Le point commun est encore un point de Miquel.

Si P appartient à la droite AB, M à la droite BC et N à la droite CA, et si chacun des triangles APN, BPM et CMN est non dégénéré, leurs cercles circonscrits sont bien définis. Si, de plus, les cercles passant par A, P, N et par B, P, M sont distincts et non tangents en P, ils ont un second point commun Q, distinct de P. Le cercle passant par C, M et N contient nécessairement Q.

Le cadre est un triangle A, B, C et trois points rattachés chacun à une droite latérale : P sur AB, M sur BC et N sur CA. Il faut pouvoir tracer les trois cercles, donc les triplets A-P-N, B-P-M et C-M-N ne doivent pas être alignés. Pour construire Q comme un second point ordinaire, les deux premiers cercles doivent être distincts et non tangents en P.

Si P coïncide avec A, le triplet A-P-N ne contient plus trois points distincts : son cercle circonscrit n'est pas déterminé. Le lemme ne s'applique pas sous cette forme. Il faut choisir un point distinct ou employer une formulation limite avec des tangentes, qui demande des hypothèses supplémentaires.

Prenons le triangle de sommets A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 4). Plaçons P(2 ; 0) sur AB, N(0 ; 1) sur CA et M(3 ; 2) sur BC.

1. Le cercle passant par A, P et N a pour équation $x^2+y^2-2x-y=0x^2+y^2-2x-y=0$.

2. Le cercle passant par B, P et M a pour équation $x^2+y^2-8x-\frac{1}{2}y+12=0x^2+y^2-8x-\backslash frac\{1\}\{2\}y+12=0$. En soustrayant les deux équations, on obtient la droite commune $y=12x-24y=12x-24$.

3. Ses intersections avec le premier cercle sont P et le point $Q=(\frac{60}{29},\frac{24}{29})Q=(\backslash frac\{60\}\{29\},\backslash frac\{24\}\{29\})$.

4. Le cercle passant par C, M et N vérifie $x^2+y^2-\frac{7}{3}x-5y+4=0x^2+y^2-\backslash frac\{7\}\{3\}x-5y+4=0$. En y remplaçant les coordonnées de Q, le membre de gauche vaut exactement 0.

Le contrôle confirme que les trois cercles passent par Q, conformément au lemme de Miquel. La figure matérialise cette concurrence sans remplacer la vérification par substitution.

Dans une construction, on trace deux des cercles et l'on nomme leur second point commun Q. Le lemme évite de reconstruire séparément le troisième cercle pour établir que Q lui appartient.

Dans une preuve de concyclicité, on cherche un triangle découpé par trois points latéraux. Si deux cercles contenant Q sont déjà connus, la configuration de Miquel fournit l'appartenance au troisième. Sans ce découpage précis, un simple test d'angles ou une équation de cercle est préférable.

Pour contrôler un dessin analytique, on calcule les équations de deux cercles, puis leur second point d'intersection. La substitution dans l'équation du troisième cercle donne un contrôle exact.

Le point de Miquel n'est pas le centre d'un des cercles : il appartient aux trois cercles de la configuration. Dans l'exemple, Q vérifie les trois équations, tandis que les centres ont d'autres coordonnées.

Le cercle de Miquel associé au quadrilatère complet n'est pas l'un des quatre cercles concourants. D'après la propriété mentionnée dans la définition de référence, il passe par leurs quatre centres et par le point de Miquel.

Un cercle circonscrit cesse d'être déterminé lorsque ses trois points sont alignés ou lorsque deux d'entre eux coïncident. Le symptôme est l'impossibilité de construire un cercle unique. Il faut écarter cette configuration ou annoncer explicitement une version limite.

Le dessin peut masquer le second point commun lorsque deux cercles sont tangents. Une intersection qui semble unique à l'écran ne suffit donc pas : il faut contrôler la multiplicité ou employer une formulation adaptée aux tangences.

Les points M, N et P ne sont pas interchangeables sans déplacer aussi les côtés auxquels ils appartiennent. Avant d'appliquer le lemme, il faut vérifier la correspondance P sur AB, M sur BC et N sur CA, ainsi que les trois triplets de chaque cercle.

Le quadrilatère complet montre comment la concurrence de trois cercles se prolonge à quatre triangles liés par quatre droites.

La fiche Miquel Auguste replace cet ensemble de résultats dans le parcours du mathématicien auquel ils doivent leur nom.