Cinq cercles (théorème des)

Imaginez deux cercles qui se coupent en deux points. Par le premier, on trace une droite ; par le second, un autre cercle. En ajoutant encore un cercle qui relie deux intersections déjà construites, on obtient quatre nouveaux points.

Le théorème affirme que ces quatre points appartiennent toujours à un même cercle. Leur alignement circulaire n'est donc pas un effet d'un dessin régulier : il résulte uniquement des incidences imposées au départ.

Le théorème des cinq cercles est un résultat d'incidence en géométrie plane. Deux cercles, notés C et C′, se coupent en deux points distincts A et B. Une droite d passant par A recoupe C en P et C′ en P′. Un troisième cercle, noté C_B, passe par B ; il recoupe C en Q et C′ en Q′.

On choisit ensuite un cercle C″ passant par P et Q. Il recoupe la droite d en P″ et le cercle C_B en Q″. La conclusion porte sur les quatre points qui ne jouent pas le même rôle dans la construction initiale : P′, Q′, P″ et Q″ sont cocycliques, c'est-à-dire qu'un cercle passe par eux quatre.

Le compte de cinq inclut le cercle conclu par le théorème : quatre cercles servent à la construction et un cinquième apparaît comme résultat. La figure n'a besoin d'aucune symétrie, mais les intersections annoncées doivent exister et les points désignés comme seconds points doivent être distincts dans la configuration usuelle.

Si C et C′ sont sécants en A et B, si une droite par A les recoupe en P et P′, et si un cercle par B les recoupe en Q et Q′, alors on peut tracer un cercle C″ par P et Q. Si C″ recoupe la droite en P″ et le cercle passant par B en Q″, alors P′, Q′, P″ et Q″ appartiennent à un même cercle.

Le cadre est le plan euclidien. Les deux cercles de départ doivent avoir deux points communs distincts, afin de séparer les rôles de A et B. La droite par A et le cercle par B doivent fournir les seconds points P, P′, Q et Q′. Enfin, le cercle choisi par P et Q doit recouper la droite et le cercle C_B aux points P″ et Q″ annoncés.

Si C et C′ sont disjoints, A et B n'existent pas dans le plan réel : la construction s'arrête dès la première étape. S'ils sont tangents, A et B se confondent et cet énoncé ordinaire ne distingue plus les deux branches. Il faut alors employer une version limite, avec tangentes et multiplicités, plutôt que prétendre appliquer directement la configuration sécante.

Données. Dans un repère, le cercle C a pour centre (0, 0) et rayon 5 ; C′ a pour centre (4, 0) et rayon 5. On note s la racine carrée de 21. Les points communs sont A = (2, s) et B = (2, −s). La droite d est horizontale et passe par A.

1. La droite d donne P = (−2, s) sur C et P′ = (6, s) sur C′. Le cercle C_B, de centre (2, 2s/3), passe par B, Q = (−5, 0) et Q′ = (9, 0).

2. On prend pour C″ le cercle de centre O″ = (−1, 3/s). Les contrôles donnent O″P² = (−2 + 1)² + (s − 3/s)² = 1 + 108/7 = 115/7 et O″Q² = (−5 + 1)² + (0 − 3/s)² = 16 + 3/7 = 115/7 : C″ passe donc bien par P et Q. Sa seconde intersection avec d est P″ = (0, s). Sa seconde intersection avec C_B est Q″ = (−78/31, −21s/31).

3. Le cercle de centre (3, −s/7) et de rayon au carré 255/7 a l'équation $(x-3{)}^2+(y+s\mathrm{/}7{)}^2=255\mathrm{/}7(x-3)^2+(y+s/7)^2=255/7$. La substitution des coordonnées de P′, Q′, P″ et Q″ donne chaque fois 255/7.

Le contrôle est refaisable avec trois points : P′, Q′ et P″ déterminent ce cercle, puis les coordonnées de Q″ vérifient la même équation. Les quatre points sont donc cocycliques, comme l'annonce le théorème.

Dans un problème de construction, le théorème évite de déterminer directement le cinquième cercle. On construit trois des points conclus, puis on sait où chercher le quatrième : sur leur cercle circonscrit.

Pour contrôler une figure dynamique, on déplace les cercles de départ sans casser les incidences. Si P′, Q′, P″ et Q″ restent sur un même cercle, la construction respecte le théorème ; sinon, une mauvaise seconde intersection a probablement été sélectionnée.

Dans une preuve, on préfère ce résultat à un calcul de coordonnées lorsque la configuration reproduit exactement ses quatre cercles auxiliaires. Si les objets sont seulement tangents ou si un point est à l'infini, une formulation en géométrie inversive est plus adaptée.

Le théorème de Miquel pour un triangle. Il part de trois points choisis sur les côtés d'un triangle et affirme que les trois cercles circonscrits aux triangles ainsi formés ont un point commun. Ici, deux points communs A et B ont des rôles différents et la conclusion est une cocyclicité de quatre points.

Les théorèmes des quatre et des six cercles. La version à quatre cercles emploie deux droites, tandis que celle à six remplace aussi la droite passant par A par un cercle. Il suffit donc de compter, parmi les deux supports passant par A et B, combien sont des cercles.

Tangence au départ. Si C et C′ n'ont qu'un point commun, le symptôme est A = B. La construction sécante perd alors sa séparation en deux branches ; il faut passer à une formulation limite qui compte les intersections avec leur multiplicité.

Mauvais point d'intersection. Chaque recoupement possède un point déjà connu et un second point. Réutiliser A à la place de P, ou B à la place de Q, fait s'effondrer la configuration. Il faut nommer chaque paire avant de tracer le cercle suivant.

Cas dégénéré. Trois points censés déterminer un cercle peuvent devenir alignés ou se confondre. Le cercle attendu n'est alors plus un cercle euclidien ordinaire. Une preuve générale doit exclure ce cas ou l'interpréter dans le plan inversif.

Symétrie trompeuse. Un dessin régulier peut suggérer que des centres ou des rayons doivent coïncider. Aucune égalité de ce genre n'appartient à l'énoncé : seules les incidences et les secondes intersections commandent la cocyclicité finale.

La fiche Miquel Auguste replace cette cocyclicité parmi les configurations où des intersections locales imposent une incidence globale.