GéométrieObjet géométrique · Glossaire
cercle d'Adams
Dans un triangle ABC muni de son cercle inscrit, les parallèles aux côtés menées par le point de Gergonne rencontrent les côtés en six points. Le cercle qui passe par ces six points est le cercle d’Adams.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le cercle inscrit et le point de Gergonne.
- Tracer les trois parallèles et nommer leurs six intersections.
- Comprendre et contrôler la cocyclicité dans un exemple équilatéral.
En clair
Imaginez un triangle et son cercle inscrit, celui qui touche chacun de ses côtés. Les trois segments reliant un sommet au point de contact du côté opposé se rencontrent en un même point : le point de Gergonne.
Par ce point, on mène trois droites parallèles aux côtés du triangle. Elles rencontrent les côtés en six points. Le cercle d’Adams est le cercle remarquable qui passe par ces six points, même si la construction ne ressemble pas d’abord à un cercle.
Définition
Le cercle d’Adams est une propriété de configuration d’un triangle ABC et de son cercle inscrit. Le cercle inscrit est tangent à BC en D, à AB en E et à AC en F. Les droites AD, BF et CE sont alors concourantes au point de Gergonne du triangle.
On trace par le point de Gergonne une parallèle à chacun des trois côtés. La parallèle à BC coupe AB et AC en deux points ; celle à CA coupe AB et BC en deux autres points ; celle à AB coupe AC et BC en deux derniers points. En les nommant I, J, K, L, M et N, on obtient six points cocycliques : ils appartiennent tous à un même cercle, appelé cercle d’Adams.
La cocyclicité désigne ici l’appartenance à un cercle commun. Elle porte sur les six points produits par les parallèles, et non sur les trois points de tangence D, E et F. Le nom renvoie au mathématicien suisse Karl Adams (1811-1849), à qui la source attribue la démonstration de cette propriété.
De quoi c'est fait
La configuration repose sur six éléments géométriques. Le triangle ABC fournit les trois côtés et les trois sommets. Le cercle inscrit touche BC en D, AB en E et AC en F ; ces trois contacts déterminent les droites AD, BF et CE. Leur point commun est le point de Gergonne, qui sert de centre de la construction des parallèles.
Les trois parallèles passent toutes par ce point. Chacune rencontre deux côtés du triangle et produit donc deux des six points I, J, K, L, M et N. Les côtés déterminent les directions des parallèles, tandis que le point de Gergonne détermine leur position. Ces données suffisent à construire les six points puis le cercle d’Adams qui les contient.
Un exemple, pas à pas
Prenons un triangle équilatéral ABC, avec A au sommet et BC horizontal. Dans ce cas particulier, le point de Gergonne est le centre du triangle. On conserve les lettres de la construction générale pour suivre les six intersections.
Données de la figure : A = (300,000 ; 60,000), B = (100,000 ; 406,410), C = (500,000 ; 406,410) ; point de Gergonne G = (300,000 ; 290,940). Les coordonnées sont exprimées en unités graphiques et servent uniquement à vérifier la construction.
1. La parallèle à BC passant par G coupe AB et AC en I = (166,667 ; 290,940) et J = (433,333 ; 290,940).
2. La parallèle à CA passant par G coupe AB et BC en K = (233,333 ; 175,470) et L = (366,667 ; 406,410).
3. La parallèle à AB passant par G coupe AC et BC en M = (366,667 ; 175,470) et N = (233,333 ; 406,410).
4. Avec ces coordonnées arrondies, le carré de la distance à G vaut environ 17 777,69 pour I et J, et environ 17 777,81 pour K, L, M et N. Cet écart vient de l’arrondi des coordonnées ; géométriquement, les six points sont cocycliques et définissent le cercle d’Adams.
2. La parallèle à CA passant par G coupe AB et BC en K = (233,333 ; 175,470) et L = (366,667 ; 406,410).
3. La parallèle à AB passant par G coupe AC et BC en M = (366,667 ; 175,470) et N = (233,333 ; 406,410).
4. Avec ces coordonnées arrondies, le carré de la distance à G vaut environ 17 777,69 pour I et J, et environ 17 777,81 pour K, L, M et N. Cet écart vient de l’arrondi des coordonnées ; géométriquement, les six points sont cocycliques et définissent le cercle d’Adams.
Le contrôle est refaisable : pour chaque point, on calcule (x − 300,000)² + (y − 290,940)². Les résultats forment environ 17 777,69 pour I et J, et environ 17 777,81 pour K, L, M et N, avec un écart maximal d’environ 0,12 dû à l’arrondi. La figure utilise des coordonnées décimales arrondies ; l’égalité géométrique exacte vient de la symétrie du triangle équilatéral.
En pratique
Pour construire la figure, on commence par tracer le triangle et son cercle inscrit. On repère les trois points de tangence, puis on trace AD, BF et CE afin de localiser le point de Gergonne.
On utilise ensuite une règle parallèle ou un logiciel de géométrie dynamique pour tracer, par le point de Gergonne, les parallèles à BC, CA et AB. On vérifie que chaque droite rencontre bien les deux côtés prévus.
Enfin, on choisit trois intersections non collinéaires, on place le cercle qui passe par elles, puis on teste les trois restantes. Une construction dynamique est préférable à un dessin à main levée lorsque l’objectif est de vérifier la cocyclicité, car elle conserve les incidences pendant la déformation du triangle.
À ne pas confondre
Le cercle d’Adams et le cercle inscrit. Le cercle inscrit touche les trois côtés du triangle en D, E et F. Le cercle d’Adams passe par les six intersections des parallèles menées par le point de Gergonne. Un point de tangence tranche entre les deux constructions.
Le point de Gergonne et le cercle d’Adams. Le point de Gergonne est un point de concours, obtenu avec AD, BF et CE. Le cercle d’Adams est un cercle construit ensuite à partir de ce point. Le premier est le centre de la construction des parallèles ; le second en est la propriété de cocyclicité.
Cocyclicité et simple alignement. Six points sont cocycliques s’ils appartiennent à un même cercle. Le fait que plusieurs points se trouvent sur des côtés ou sur des droites parallèles ne suffit pas à établir cette propriété ; le test décisif est l’existence d’un cercle commun.
Limites et pièges
Le cercle inscrit doit être celui de la configuration. Si un cercle ne touche pas les trois côtés du même triangle, les points D, E et F ne définissent pas la construction source. Le symptôme est l’échec du concours de AD, BF et CE ; il faut repartir du cercle inscrit du triangle.
Les parallèles doivent passer par le point de Gergonne. Une droite parallèle à un côté mais déplacée ailleurs dans le plan produit d’autres intersections. Le symptôme est que les six points obtenus ne sont généralement pas sur un cercle commun ; il faut imposer le passage par le point de concours.
Le cas équilatéral ne doit pas masquer la construction. Dans un triangle équilatéral, le point de Gergonne coïncide avec le centre et la symétrie rend la cocyclicité particulièrement visible. Pour un triangle quelconque non dégénéré, il faut néanmoins construire séparément le cercle inscrit, le point de Gergonne et les trois parallèles ; on ne peut pas remplacer ces étapes par la seule symétrie.
Un dessin approximatif ne constitue pas une preuve. À l’écran ou sur papier, des points presque cocycliques peuvent sembler appartenir au même cercle. Il faut vérifier les incidences et, pour un contrôle numérique, comparer les distances au centre avec une tolérance liée à l’arrondi des coordonnées.
Pour aller plus loin
La fiche point de Gergonne approfondit le point de concours défini par les trois droites issues des sommets et des points de tangence du cercle inscrit.
L’article Le « miracle » de Morley propose une autre configuration remarquable de géométrie du triangle, utile pour replacer le cercle d’Adams parmi les propriétés qui relient constructions et points remarquables.
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