cercle d'Adams

Imaginez un triangle dont le cercle inscrit touche chacun des trois côtés. Les trois droites qui relient les sommets aux points de contact se rencontrent en un même point, le point de Gergonne. Par ce point, tracez une parallèle à chaque côté : chaque droite rencontre les deux autres droites-supports, ce qui donne six points.

La propriété remarquable est que ces six points appartiennent tous à un seul cercle. Ce cercle est le cercle d’Adams. Les parallèles fournissent donc une construction visible, tandis que la cocyclicité en constitue le résultat géométrique essentiel.

Dans un triangle ABC non dégénéré, le cercle inscrit touche BC en D, AB en E et AC en F. Les ceviennes AD, BF et CE, c’est-à-dire les droites joignant chaque sommet au point de contact situé sur le côté opposé, sont concourantes au point de Gergonne P.

Par P, on mène trois droites parallèles respectivement à AB, BC et CA. Chaque parallèle coupe les deux droites-supports des autres côtés ; les six intersections sont notées I, J, K, L, M et N. La propriété d’Adams affirme qu’il existe un cercle contenant ces six points : ils sont donc cocycliques. Cette affirmation vaut pour la construction générale, et non pour le seul exemple équilatéral : une démonstration exprime les six intersections à partir des directions des côtés et des rapports déterminés par P, puis vérifie qu’elles satisfont une même équation de cercle. Le cercle ainsi défini est le cercle d’Adams du triangle.

La construction dépend du triangle et de son cercle inscrit. Les lettres désignent les sommets, les points de contact et les intersections ; elles ne fixent pas une orientation particulière du dessin. Pour tout triangle non dégénéré dans le cadre de cette construction, les six intersections sont distinctes ; les coïncidences relèvent de configurations dégénérées, hors de ce cadre. La formulation usuelle porte sur les droites-supports.

La construction comporte six éléments géométriques liés. Le triangle ABC fournit les trois côtés-supports. Le cercle inscrit fixe les points de contact D, E et F. Les trois ceviennes AD, BF et CE déterminent le point de Gergonne P.

Les parallèles menées par P utilisent successivement les directions de AB, BC et CA. Une telle droite rencontre les deux côtés qui ne lui sont pas parallèles et produit deux des six points I à N. Les intersections dépendent donc à la fois de P et des directions des côtés ; sans le point de Gergonne, la cocyclicité annoncée n’est pas la construction d’Adams.

La forme, la taille et la couleur du tracé ne définissent pas l’objet. Les côtés, les points de contact, le point P et les trois parallèles suffisent à construire les six points, puis le cercle unique qui les contient lorsque la configuration est non dégénérée.

Prenons un triangle équilatéral ABC de côté 10. Son cercle inscrit touche les trois côtés, et son point de Gergonne P est aussi son centre. Dans un repère où A = (0, 0), B = (10, 0) et C = (5, 5√3), on a P = (5, 5√3/3). Les six intersections sont obtenues en menant par P une parallèle à chaque côté.

La parallèle à AB est horizontale et coupe AC et BC en I = (5/3, 5√3/3) et J = (25/3, 5√3/3).
La parallèle à AC coupe AB en K = (10/3, 0) et BC en L = (20/3, 10√3/3).
La parallèle à BC coupe AB en M = (20/3, 0) et AC en N = (10/3, 10√3/3).

Chaque point est à la distance 10/3 de P. Par exemple, pour I, les écarts horizontal et vertical valent respectivement 10/3 et 0, donc PI = 10/3 ; pour K, ils valent 5/3 et −5√3/3, donc PK² = (5/3)² + (5√3/3)² = 100/9. Les six points sont ainsi sur le cercle de centre P et de rayon 10/3.

Pour construire un cercle d’Adams, commencez par un triangle et son cercle inscrit. Repérez ses trois points de contact, puis reliez chaque sommet au point de contact du côté opposé afin d’obtenir le point de Gergonne.

Tracez ensuite les trois parallèles par ce point et marquez leurs intersections avec les côtés-supports. Un logiciel de géométrie dynamique peut aider à déplacer les sommets ; la propriété à observer reste l’appartenance des six points à un même cercle.

Pour vérifier le dessin, utilisez la commande de cercle passant par trois points, puis contrôlez les trois points restants. Si une intersection sort d’un segment, conservez la droite-support : c’est elle qui intervient dans la construction générale.

Le cercle inscrit n’est pas le cercle d’Adams. Le premier est tangent aux trois côtés du triangle ; le second passe par les six intersections produites par les parallèles au point de Gergonne. Dans l’exemple équilatéral, leurs centres coïncident, mais leurs rayons sont différents : le cercle inscrit a pour rayon 5√3/3, tandis que le cercle d’Adams a pour rayon 10/3.

Le point de Gergonne n’est pas non plus le cercle d’Adams. Le point P est une position déterminée par les points de contact du cercle inscrit ; le cercle d’Adams est une figure construite à partir de P et des trois parallèles.

Le mot « côtés » peut masquer une distinction importante. Une parallèle à un côté ne le rencontre pas ; elle coupe les deux autres droites-supports. Selon la forme du triangle et la position de P, une intersection peut se trouver sur le prolongement d’un segment plutôt qu’entre ses sommets. Le bon réflexe consiste à travailler avec les trois droites-supports et à vérifier la position finale des points.

La construction suppose un triangle non dégénéré, donc trois sommets non alignés et un cercle inscrit bien défini. Une configuration limite où des côtés deviennent confondus ou où des intersections se superposent ne fournit plus six points distincts ; il faut alors parler d’une configuration dégénérée, pas d’un cercle déterminé par six points distincts.

Enfin, la cocyclicité est une propriété géométrique, pas un effet d’approximation du dessin. Une figure réalisée à main levée peut donner l’impression qu’un point est légèrement décalé ; utilisez des parallèles exactes et un test d’appartenance au cercle pour trancher.

Le point de Gergonne est la porte d’entrée naturelle pour approfondir cette construction : sa définition relie les points de contact du cercle inscrit aux trois ceviennes du triangle. Le cercle d’Adams montre ensuite comment une propriété de concurrence produit une nouvelle propriété de cocyclicité.

Le cercle inscrit fournit le support initial de la construction. Sa fiche permet de revoir la tangence aux trois côtés avant d’étudier les parallèles menées par le point de Gergonne.