cercle de Taylor

Tracez un triangle, puis ses trois hauteurs. Chaque hauteur rencontre le côté opposé en un pied. Depuis chacun de ces trois pieds, abaissez encore deux perpendiculaires, une vers chacun des deux autres côtés : six nouveaux points apparaissent.

Ces six points semblent dispersés, mais un même cercle les traverse tous : le cercle de Taylor. En les reliant dans leur ordre autour du cercle, on obtient l'hexagone de Catalan. La construction dépend uniquement du triangle de départ, à condition qu'il ne soit pas rectangle.

Dans un triangle non rectangle ABC, notons A', B' et C' les pieds des hauteurs issues respectivement de A, B et C. Le point A₂ est la projection orthogonale de A' sur AB, tandis que A₃ est sa projection sur AC. De la même façon, deux projections de B' et deux projections de C' sur les côtés adjacents complètent les points B₂, B₃, C₂ et C₃. Ces six projections sont cocycliques : leur cercle commun est le cercle de Taylor, et l'hexagone qu'elles déterminent est l'hexagone de Catalan.

Le triangle A'B'C' est le triangle orthique de ABC. Les trois droites joignant les deux projections issues d'un même pied sont parallèles aux côtés de ce triangle orthique. Leurs intersections deux à deux sont les milieux des côtés de A'B'C' : elles délimitent donc son triangle médian. Chacune est aussi antiparallèle au côté correspondant de ABC, c'est-à-dire qu'elle forme avec les deux autres côtés des angles égaux à ceux du côté correspondant, mais dans l'orientation opposée.

Le cercle de Taylor est un cas particulier de cercle de Tücker. Lorsque ABC est acutangle, son centre est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique. Lorsque ABC est obtusangle, il devient l'un des centres des cercles exinscrits de ce triangle médian.

La construction part de cinq éléments liés. Le triangle ABC fournit les trois côtés de projection. Ses trois hauteurs donnent leurs pieds A', B' et C', qui forment le triangle orthique. Chaque pied est ensuite projeté perpendiculairement sur les deux côtés qui passent par le sommet correspondant : ces six projections sont les sommets de l'hexagone de Catalan. Leur cercle commun est le cercle de Taylor.

Les paires issues de A', B' et C' déterminent trois droites. Ces droites sont parallèles aux trois côtés du triangle orthique, et leurs intersections deux à deux tombent sur les milieux de ces côtés. Elles font ainsi apparaître le triangle médian du triangle orthique, dont le cercle inscrit ou l'un des cercles exinscrits localise le centre du cercle de Taylor selon que ABC est aigu ou obtus.

La taille, l'orientation et la couleur du tracé ne définissent pas l'objet. Ce sont les perpendicularités, les incidences avec les côtés et la cocyclicité des six points qui suffisent à reconstruire la configuration.

Prenons un triangle aigu dans un repère orthonormé. La construction des six projections les rend visibles ; les calculs permettent ensuite de vérifier qu'elles appartiennent exactement au même cercle.

Données.
Le sommet A a pour coordonnées (0, 0).
Le sommet B a pour coordonnées (6, 0).
Le sommet C a pour coordonnées (2, 4).

Étape 1. Les pieds des hauteurs sont A' = (3, 3), B' = (6/5, 12/5) et C' = (2, 0). Chacun appartient au côté opposé et la hauteur correspondante lui est perpendiculaire.

Étape 2. Les deux projections de A' sont A₂ = (3, 0) et A₃ = (9/5, 18/5). Celles de B' sont B₂ = (6/5, 0) et B₃ = (12/5, 18/5). Celles de C' sont C₂ = (2/5, 4/5) et C₃ = (4, 2).

Étape 3. Appelons O le point de coordonnées (21/10, 17/10). Pour chacun des six points P obtenus, le même calcul donne $O{P}^2={(x_P-\frac{21}{10})}^2+{(y_P-\frac{17}{10})}^2=\frac{37}{10}OP^2=\backslash left(x\_P-\backslash frac\{21\}\{10\}\backslash right)^2+\backslash left(y\_P-\backslash frac\{17\}\{10\}\backslash right)^2=\backslash frac\{37\}\{10\}$.

Résultat. Les six distances à O sont égales au rayon √370/10. Les six projections appartiennent donc au cercle de centre O ; remplacer P par A₂ puis C₃ fournit deux contrôles directs du même carré de distance, 37/10.

Pour construire le cercle à la règle et au compas, tracez d'abord les trois hauteurs, puis les six perpendiculaires issues de leurs pieds. Trois des six projections non alignées suffisent pour tracer le cercle ; les trois autres servent de contrôle de la construction.

Dans un dessin dynamique, déplacez un sommet du triangle tout en conservant les perpendicularités. La propriété utile à observer n'est pas une forme particulière de l'hexagone, mais le maintien des six sommets sur un même cercle. Pour une vérification numérique, comparez leurs distances à un centre calculé.

Pour étudier le centre, commencez par déterminer si le triangle ABC est aigu ou obtus. Dans le premier cas, cherchez l'incercle du triangle médian du triangle orthique ; dans le second, l'un de ses cercles exinscrits fournit le bon centre.

Cercle de Taylor et cercle de Tücker. Un cercle de Tücker appartient à une famille plus générale associée au triangle ; le cercle de Taylor en est un cas particulier. La présence des six projections orthogonales des pieds des hauteurs identifie précisément le cas de Taylor.

Cercle de Taylor et hexagone de Catalan. Le premier est le cercle qui porte les six points ; le second est l'hexagone formé par ces mêmes points. Si l'on parle du lieu commun, il s'agit du cercle ; si l'on relie les six sommets, il s'agit de l'hexagone.

Triangle orthique et triangle médian associé. Le triangle orthique a pour sommets les trois pieds des hauteurs. Le triangle médian évoqué ici a pour sommets les milieux des côtés de ce triangle orthique, et non ceux du triangle ABC.

Le cas rectangle est exclu. Si ABC possède un angle droit, deux pieds de hauteurs se confondent avec le sommet de cet angle et plusieurs projections dégénèrent. La configuration à six points décrite par la définition n'est alors plus celle à employer.

Aigu et obtus ne donnent pas le même type de centre. Dans un triangle aigu, le centre du cercle de Taylor est l'incentre du triangle médian du triangle orthique. Après le passage à un triangle obtus, il faut choisir l'un des excentres de ce triangle médian ; conserver automatiquement l'incentre conduit au mauvais point.

Parallèle ne signifie pas confondu. Les trois droites portées par les paires de projections sont parallèles aux côtés du triangle orthique. Ce sont leurs intersections mutuelles qui donnent les milieux de ces côtés et délimitent le triangle médian ; les droites elles-mêmes ne sont pas les côtés du triangle orthique.

L'ordre visuel des six points peut varier. Lorsque la forme du triangle change, certaines projections peuvent se situer sur des prolongements de côtés. Il faut définir les points par projection orthogonale et vérifier leur cercle commun, plutôt que recopier l'allure d'un dessin particulier.

La fiche hexagone de Catalan reprend la même configuration du point de vue du polygone inscrit formé par les six projections.

Le glossaire triangle orthique approfondit la structure formée par les trois pieds des hauteurs, au cœur de la construction.

L'entrée cercle de Tücker situe le cercle de Taylor dans la famille plus générale dont il constitue un cas particulier.

Les fiches cercle inscrit et cercle exinscrit précisent les deux localisations possibles du centre selon la nature du triangle ABC.