cévienne

Tracez un triangle, choisissez l'un de ses sommets, puis reliez-le à un point du côté opposé. Le segment obtenu est une cévienne. Il peut viser le milieu du côté : c'est alors une médiane. Il peut aussi rejoindre le pied d'une hauteur.

Trois céviennes, une depuis chaque sommet, peuvent se rencontrer en un même point. On dit alors qu'elles sont concourantes. Cette configuration relie une construction très visuelle au théorème de Ceva.

Dans un triangle ABC, une cévienne issue du sommet A est le segment AA', où A' appartient au côté opposé BC ou à son prolongement. La même définition donne BB' depuis B et CC' depuis C. Lorsque ces trois droites passent par un même point I, les céviennes sont concourantes. Le théorème de Ceva fournit précisément un critère de concurrence fondé sur les rapports découpés sur les côtés.

Une médiane et une hauteur sont des céviennes particulières. Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité et leurs pieds forment le triangle médian. Les trois hauteurs sont concourantes à l'orthocentre et leurs pieds forment le triangle orthique. Pour un point I distinct des sommets, si chacune des droites AI, BI et CI rencontre la droite support du côté opposé et si les trois points d'intersection forment un triangle non dégénéré, celui-ci est le triangle cévien de I. Le terme triangle pédal est réservé aux projections orthogonales de I sur les droites supports des trois côtés.

Le théorème de Stewart calcule la longueur d'une cévienne. Posons a = BC, b = CA, c = AB, d = AA', m = BA' et n = A'C, avec a = m + n lorsque A' est sur le segment BC. Alors :
Pour une cévienne qui atteint le prolongement de BC, la formule s'interprète avec des longueurs orientées.

Considérons un triangle isocèle ABC tel que AB = AC = 13 et BC = 10. Le point A' est le milieu de BC. La médiane AA' est donc une cévienne, et BA' = A'C = 5. Notons d sa longueur.

1. Dans la formule de Stewart, on remplace a par 10, b et c par 13, puis m et n par 5. La construction met en évidence la cévienne rouge et les deux segments égaux du côté BC.

2. Le membre de gauche vaut 13² × 5 + 13² × 5 = 1 690. Le produit mn vaut 25.

3. On obtient 1 690 = 10(d² + 25), donc d² = 144 et d = 12, car une longueur est positive.

Le contrôle est immédiat : 10 × (12² + 5 × 5) = 10 × 169 = 1 690. La cévienne AA' mesure donc exactement 12 dans la même unité que les côtés.

Pour partager un triangle en deux régions de même aire, on trace une médiane. Elle est préférable à une cévienne quelconque lorsque le critère observable est que son pied coupe le côté opposé en deux longueurs égales.

Pour étudier la concurrence de trois segments issus des sommets, on repère leurs pieds sur les côtés et on emploie le théorème de Ceva. Un simple dessin ne suffit pas lorsque le point de rencontre paraît commun sans l'être exactement.

Pour calculer la longueur d'une seule cévienne à partir des trois côtés et du partage du côté opposé, on emploie le théorème de Stewart. Le théorème de Pythagore est une alternative plus directe si la cévienne est une hauteur et qu'un triangle rectangle est déjà identifié.

Cévienne et médiane. Toute médiane est une cévienne, mais une cévienne n'est une médiane que si son pied est le milieu du côté opposé. Dans l'exemple, BA' = A'C = 5 : AA' est donc bien les deux.

Cévienne et hauteur. Une hauteur doit être perpendiculaire au côté opposé ou à sa droite support. Une cévienne oblique reste une cévienne, mais ce n'est pas une hauteur.

Triangle cévien et triangle pédal. Le premier vient des intersections de AI, BI et CI avec les côtés. Le second vient des projections orthogonales d'un point I sur les droites supports des côtés. Ils coïncident notamment pour I égal à l'orthocentre, mais pas en général.

Pied sur un prolongement. Si A' est hors du segment BC, le tracé atteint la droite du côté opposé. Les découpages ne vérifient plus a = m + n avec deux longueurs ordinaires positives. Il faut employer des longueurs orientées avant d'appliquer Stewart ou Ceva.

Concurrence seulement apparente. Trois traits épais peuvent sembler se couper au même endroit. Le symptôme est que le point d'intersection de deux céviennes ne se trouve pas exactement sur la troisième. Le critère du théorème de Ceva tranche sans dépendre de la précision du dessin.

Triangle aplati. Si A, B et C sont alignés, il n'y a plus de triangle non dégénéré ni de côté opposé au sens usuel. Les théorèmes géométriques associés aux céviennes ne s'appliquent pas à cette configuration.

Ordre des deux segments. Dans Stewart, chaque carré de côté est associé au segment opposé selon la convention choisie. Le bon réflexe consiste à écrire d'abord m = BA' et n = A'C, puis à conserver cet ordre dans toute la substitution.

théorème de Céva — Établir exactement quand trois céviennes sont concourantes à partir des rapports sur les côtés.

théorème de Stewart — Retrouver la formule de longueur d'une cévienne et la mettre en œuvre sur d'autres partages.

médiane d'un triangle — Approfondir le cas où le pied de la cévienne est exactement le milieu du côté opposé.

Orthocentre — Relier les hauteurs concourantes au triangle orthique formé par leurs trois pieds.