GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de Céva
Une cévienne relie un sommet d'un triangle à un point du support du côté opposé. Dans un triangle non aplati ABC, si P, Q et R appartiennent respectivement aux supports de BC, CA et AB et si les dénominateurs sont non nuls, les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes ou parallèles si et seulement si (PB/PC) × (QC/QA) × (RA/RB) = −1 en mesures algébriques. Ce critère permet de tester ou d'établir leur concurrence à partir des positions de P, Q et R.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les céviennes et les trois rapports orientés du critère.
- Vérifier exactement la valeur −1 sur un exemple numérique cohérent.
- Distinguer la concurrence de Céva de l'alignement de Ménélaüs.
- Repérer les dénominateurs nuls, les prolongements et le cas parallèle.
En clair
Dans un triangle, choisissez un point sur chacun des trois côtés. Reliez ensuite chaque point au sommet opposé. Les trois segments obtenus sont des céviennes. Ils peuvent sembler se diriger au hasard, mais les positions des trois points sont liées dès que les céviennes se rencontrent.
Le théorème de Céva transforme cette rencontre en un test sur trois rapports de longueurs orientées. Deux rapports connus suffisent ainsi à déterminer celui que le troisième doit respecter.
Définition
Le théorème de Céva est un critère de concurrence dans un triangle non dégéné. Soit un triangle de sommets A, B et C. Les points P, Q et R appartiennent respectivement aux droites qui portent les côtés BC, CA et AB. Les droites AP, BQ et CR sont les supports de trois céviennes lorsque les points se trouvent sur les côtés opposés.
Les quotients PB/PC, QC/QA et RA/RB sont des rapports de mesures algébriques : leur signe dépend de l'orientation des segments. Avec cette convention, le critère s'écrit . Il est nécessaire et suffisant : le produit vaut −1 exactement lorsque les trois droites sont concourantes ou parallèles. Aucun dénominateur ne doit être nul.
Le même résultat possède des formulations équivalentes avec des sinus d'angles ou des aires. Il se prolonge en géométrie projective. Sa configuration est duale de celle du théorème de Ménélaüs. Le nom rappelle Giovanni Céva, mais le résultat était connu dès le 11e siècle, notamment par Al-Mutaman.
Le principe
Dans un triangle ABC non dégéné, prenez P sur la droite BC, Q sur la droite CA et R sur la droite AB, sans annuler les dénominateurs. Si les trois rapports orientés sont définis, alors les droites AP, BQ et CR sont concourantes ou parallèles si et seulement si :
Le sens direct vérifie le produit à partir d'une concurrence connue. La réciproque conclut à la concurrence, ou au cas parallèle, à partir du produit.
Quand l'utiliser
Le cadre est celui d'un triangle non aplati dans le plan. Les points P, Q et R doivent appartenir aux supports des côtés BC, CA et AB dans cet ordre. Les rapports utilisent des mesures algébriques cohérentes, et les segments placés aux dénominateurs PC, QA et RB doivent avoir une mesure non nulle.
Si P coïncide avec C, le rapport PB/PC n'est pas défini : le test multiplicatif ne peut pas être appliqué sous cette forme. Il faut alors examiner directement les droites ou employer une formulation projective adaptée. De même, utiliser seulement les longueurs positives efface les signes et remplace à tort −1 par un produit sans orientation.
Un exemple, pas à pas
Dans le triangle ABC, le point P partage le côté BC avec les longueurs BP = 2 et PC = 1. Le point Q partage CA avec CQ = 3 et QA = 2. Le point R partage AB avec AR = 1 et RB = 3. Les trois points sont intérieurs aux côtés, donc les deux mesures dirigées de chaque quotient ont des sens opposés.
1. Le premier rapport algébrique vaut PB/PC = −2.
2. Le deuxième vaut QC/QA = −3/2.
3. Le troisième vaut RA/RB = −1/3.
4. Leur produit est .
2. Le deuxième vaut QC/QA = −3/2.
3. Le troisième vaut RA/RB = −1/3.
4. Leur produit est .
Le critère de Céva est satisfait : les droites AP, BQ et CR sont concourantes. Le contrôle se refait sans figure en simplifiant les valeurs absolues : 2 × 3/2 × 1/3 = 1, puis trois signes négatifs donnent −1. La figure matérialise le même partage et le point commun aux trois céviennes.
En pratique
Pour prouver que trois céviennes sont concourantes, on calcule les trois rapports orientés puis leur produit. Cette voie est utile lorsque les points de partage sont connus ; une construction directe des droites convient mieux lorsque leurs équations sont déjà disponibles.
Pour trouver un point de partage manquant, on impose le produit −1 et on isole le rapport inconnu. Le résultat fixe une proportion sur le côté opposé, sous réserve que les dénominateurs restent non nuls.
Quand la configuration porte sur trois points alignés, le théorème de Ménélaüs est l'outil voisin à examiner. Le critère observable est alors l'alignement des points, et non la rencontre de droites issues des sommets.
À ne pas confondre
Théorème de Céva et théorème de Ménélaüs. Céva teste la concurrence de trois droites passant par les sommets d'un triangle. Ménélaüs traite l'alignement de trois points placés sur les supports de ses côtés. Si le dessin montre un point commun aux trois droites, le premier cadre est le bon ; s'il montre une même droite passant par trois points, c'est le second.
Cévienne et côté du triangle. Une cévienne joint un sommet à un point du côté opposé. Un côté joint deux sommets. Le point de départ et la position de l'autre extrémité suffisent donc à les distinguer.
Limites et pièges
Points sur les prolongements. Un point peut appartenir au support d'un côté sans appartenir au segment. Le signe du rapport change alors selon sa position. Il faut conserver les mesures algébriques plutôt que recopier les seules longueurs positives.
Dénominateur nul. Si P = C, Q = A ou R = B, l'un des trois quotients n'existe pas. Le symptôme est une division par zéro. Il faut traiter la configuration directement ou changer de formulation.
Cas parallèle. Le produit −1 ne force pas toujours un point de concours fini dans le cadre affine : les trois droites peuvent être parallèles. Il faut donc observer leur direction avant d'annoncer une intersection ordinaire. En géométrie projective, ce cas s'interprète par un point commun à l'infini.
Triangle aplati. Si A, B et C sont alignés, il n'y a plus de triangle non dégéné. Les rapports peuvent encore sembler calculables, mais l'hypothèse géométrique du théorème manque ; le critère ne doit pas être invoqué.
Pour aller plus loin
La fiche cévienne précise l'objet géométrique dont Céva organise la concurrence.
Le théorème de Ménélaüs donne le critère dual, centré sur l'alignement de points sur les supports des côtés.
La géométrie projective fournit le cadre où le cas de trois droites parallèles rejoint celui de la concurrence.
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