GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de Gergonne
Théorème de géométrie affine portant sur la concurrence de droites dans un triangle. Dans un plan affine, étant donné un triangle non aplati ABC et trois points A', B', C' situés respectivement sur les droites (BC), (CA) et (AB), si les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes en un point M, alors les mesures algébriques vérifient la relation : A'M/A'A + B'M/B'B + C'M/C'C = 1. Ce résultat est attribué à Joseph-Diez Gergonne, mathématicien français du 19e siècle, fondateur des Annales de mathématiques pures et appliquées.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses exactes du théorème.
- Lire les trois rapports orientés et leur somme égale à 1.
- Refaire un exemple coordonné donnant 1/2, 1/3 et 1/6.
- Distinguer ce résultat du point de Gergonne et du théorème de Céva.
En clair
Tracez un triangle, choisissez un point M, puis reliez chaque sommet à M. Chaque droite coupe la droite portant le côté opposé en un point. Le théorème de Gergonne affirme que les trois positions de M sur ces droites sont liées : leurs proportions orientées ont toujours pour somme 1.
Le mot « orientées » est essentiel. Une proportion peut être négative lorsque M se trouve de l'autre côté d'une extrémité. La relation reste ainsi valable même si M ou l'un des trois points est à l'extérieur du triangle.
Définition
Le théorème de Gergonne est une identité de géométrie affine. On considère un triangle non aplati ABC dans un plan affine. Le point A' appartient à la droite (BC), le point B' à la droite (CA) et le point C' à la droite (AB). Ces points peuvent se trouver sur les côtés du triangle ou sur leurs prolongements.
Si les trois droites (AA'), (BB') et (CC') passent par un même point M, les quotients A'M/A'A, B'M/B'B et C'M/C'C sont des rapports de mesures algébriques. Chaque numérateur et son dénominateur sont mesurés sur la même droite et avec la même orientation. Leur somme vaut 1. Cette égalité exprime aussi les coordonnées barycentriques normalisées de M relativement aux sommets A, B et C.
Le résultat est attribué à Joseph-Diez Gergonne, mathématicien français du 19e siècle et fondateur des Annales de mathématiques pures et appliquées.
Le principe
Dans un plan affine, soit ABC un triangle non aplati. Les points A', B' et C' appartiennent respectivement aux droites (BC), (CA) et (AB). Si les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes en M, alors les rapports orientés vérifient :
Une barre désigne ici une mesure algébrique sur la droite correspondante. Les trois quotients peuvent donc avoir des signes différents.
Quand l'utiliser
Le cadre est un plan affine et ABC doit être un triangle non aplati : ses trois sommets ne sont pas alignés. Chaque point marqué d'un prime appartient à la droite du côté opposé, pas nécessairement au segment correspondant. Les trois droites issues des sommets doivent avoir un point commun affine M.
Pour chacun des trois quotients, il faut choisir une orientation de la droite et l'utiliser au numérateur comme au dénominateur. Le quotient ne dépend pas du choix de l'orientation, car les deux mesures changent alors simultanément de signe.
Si les trois droites n'ont aucun point commun dans le plan affine, le point M n'existe pas et les trois rapports de l'énoncé ne sont pas définis ensemble. Pour décider de la concurrence à partir des seuls points A', B' et C', le théorème de Céva fournit le critère adapté.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère affine, prenons A(0 ; 0), B(6 ; 0), C(0 ; 6) et M(2 ; 1). La droite (AM) coupe (BC) en A'(4 ; 2), la droite (BM) coupe (CA) en B'(0 ; 3/2), et la droite (CM) coupe (AB) en C'(12/5 ; 0). Dans cette configuration, les trois droites rouges issues des sommets matérialisent leur concurrence en M.
1. Sur la droite orientée de A' vers A, le point M est à mi-chemin : .
2. Sur la droite orientée de B' vers B, les coordonnées donnent . Le deuxième rapport vaut donc 1/3.
3. Sur la droite orientée de C' vers C, on obtient . Le troisième rapport vaut donc 1/6.
4. Le contrôle demandé par le théorème est exact : . Les trois proportions reconstituent bien l'unité.
En pratique
En géométrie analytique, on commence par calculer le point commun M des céviennes. Les intersections A', B' et C' avec les droites opposées donnent ensuite trois proportions. Leur somme égale à 1 sert de contrôle exact des calculs et des signes.
En calcul barycentrique, ces trois proportions fournissent directement les coordonnées normalisées de M par rapport à A, B et C. Ce langage est préférable lorsque l'on veut décrire la position affine de M sans dépendre d'un repère cartésien particulier.
Si M n'est pas encore connu et que l'objectif est de prouver la concurrence des trois céviennes à partir de A', B' et C', on choisit plutôt le théorème de Céva, qui compare des rapports portés par les côtés.
À ne pas confondre
Le point de Gergonne. Dans un triangle, il est défini par les droites joignant les sommets aux points de contact du cercle inscrit avec les côtés. Le théorème étudié ici concerne au contraire tout point de concurrence M et une identité de rapports affines. Un point M quelconque distingue immédiatement les deux notions.
Le théorème de Céva. Céva donne une condition de concurrence à partir de trois rapports calculés sur les côtés du triangle. Le théorème de Gergonne présenté ici suppose déjà la concurrence et additionne trois rapports mesurés sur les céviennes. Si M n'est pas donné, Céva est le résultat opérationnel à employer.
Limites et pièges
Triangle aplati. Si A, B et C sont alignés, les droites dites opposées ne définissent plus la configuration d'un triangle affine. Le symptôme est la disparition de trois directions de côtés distinctes ; il faut exclure ce cas avant tout calcul.
Points extérieurs. Un point A', B', C' ou M situé hors du triangle n'annule pas le théorème. En revanche, remplacer les mesures algébriques par des longueurs positives peut rendre la somme fausse. Il faut conserver les signes déterminés par une orientation commune à chaque quotient.
Concurrence à l'infini. Trois droites parallèles peuvent être dites concourantes dans le plan projectif, mais l'énoncé source exige un point M du plan affine. Aucun rapport A'M/A'A, B'M/B'B ou C'M/C'C ne doit alors être attribué à un point à l'infini.
Somme égale à 1. Cette valeur est une conclusion nécessaire lorsque la configuration et M sont déjà établis. Une somme numérique isolée ne prouve pas, à elle seule, que trois droites arbitraires sont concourantes ; il faut vérifier la géométrie ou utiliser Céva.
Pour aller plus loin
Théorème de Céva. Il donne le critère complémentaire qui établit la concurrence à partir de rapports sur les côtés.
Coordonnées barycentriques. Elles expliquent pourquoi les trois coefficients associés à M ont une somme normalisée égale à 1.
Fondamental de la géométrie affine (théorème). Ce prolongement replace l'identité dans le cadre des transformations qui préservent alignement et rapports affines.
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