GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de Routh
Dans un triangle, choisissez un point sur chacun des trois côtés et tracez, depuis chaque sommet, la droite passant par le point du côté opposé : ces trois droites sont des céviennes. Le théorème de Routh exprime l’aire du triangle formé par leurs intersections, rapportée à celle du triangle initial, à partir de la position des trois points ; si les points sont intérieurs aux côtés, les rapports utilisés sont positifs et finis.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir les trois rapports orientés cycliquement sur les côtés du triangle.
- Appliquer la formule de Routh à un exemple numérique entièrement vérifiable.
- Relier l'aire nulle du triangle intérieur au critère de concurrence de Céva.
- Repérer les erreurs dues à l'inversion d'un rapport ou à une figure dégénérée.
En clair
Tracez un triangle, puis choisissez un point sur chacun de ses côtés. Reliez chaque point au sommet opposé : les trois droites obtenues sont des céviennes. En général, elles se croisent deux à deux et dessinent un petit triangle au centre.
Le théorème de Routh relie l'aire de ce triangle intérieur à celle du triangle de départ. Il suffit de connaître, sur chaque côté, le rapport entre les deux segments créés par le point choisi.
Définition
Dans un triangle ABC, on place D sur le côté BC, E sur CA et F sur AB. Les droites AD, BE et CF sont trois céviennes. On note x le rapport BD/DC, y le rapport CE/EA et z le rapport AF/FB. Dans la formulation usuelle où D, E et F sont à l'intérieur des côtés, ces trois nombres sont strictement positifs.
Les intersections deux à deux de AD, BE et CF délimitent un triangle, appelé ici triangle de Routh. Si S désigne son aire et SABC l'aire du triangle initial, le théorème exprime le quotient S/SABC uniquement en fonction de x, y et z. Ce quotient ne dépend donc ni de la taille ni de la forme de ABC, mais de la position relative des trois points sur ses côtés.
Si le produit xyz vaut 1, les trois céviennes sont concourantes. Le triangle de Routh se réduit alors à un point et son aire est nulle : le théorème de Céva apparaît comme le cas limite de la formule de Routh. Le résultat porte le nom d'Edward John Routh (1831–1907).
Le principe
Si D, E et F sont placés respectivement à l'intérieur de BC, CA et AB, avec x = BD/DC, y = CE/EA et z = AF/FB, alors le rapport entre l'aire S du triangle formé par AD, BE et CF et l'aire SABC vaut :
L'ordre des rapports autour du triangle est essentiel : chaque numérateur commence au sommet d'où part la cévienne précédente dans le cycle A, B, C.
Quand l'utiliser
Cette forme du théorème s'applique à un triangle euclidien non dégénéré. Les points D, E et F doivent appartenir respectivement à l'intérieur de BC, CA et AB ; ainsi, x, y et z sont définis, finis et strictement positifs. Les trois rapports doivent suivre la même orientation cyclique : BD/DC, CE/EA, puis AF/FB.
Si un point coïncide avec un sommet, l'un des segments du rapport est nul et cette formulation ne s'applique plus telle quelle. Il faut alors traiter directement la configuration dégénérée, ou employer une version en rapports orientés qui précise ses propres conventions. Si ABC est aplati, SABC vaut zéro et le quotient d'aires n'est pas défini.
Un exemple, pas à pas
Dans le triangle ABC, choisissons D, E et F de sorte que BD/DC = 2, CE/EA = 3 et AF/FB = 4. Les données sont donc x = 2, y = 3 et z = 4. La construction correspondante rend visibles les trois céviennes et le triangle qu'elles enferment.
1. Le numérateur vaut (2 × 3 × 4 − 1)2 = 232 = 529.
2. Les trois facteurs du dénominateur valent 2 × 3 + 2 + 1 = 9, 3 × 4 + 3 + 1 = 16 et 4 × 2 + 4 + 1 = 13.
3. Leur produit vaut 9 × 16 × 13 = 1 872.
2. Les trois facteurs du dénominateur valent 2 × 3 + 2 + 1 = 9, 3 × 4 + 3 + 1 = 16 et 4 × 2 + 4 + 1 = 13.
3. Leur produit vaut 9 × 16 × 13 = 1 872.
Le rapport recherché est donc : . Le triangle de Routh occupe ainsi environ 28,26 % de l'aire de ABC. Pour contrôler le calcul, on vérifie que 529/1 872 est bien compris entre 0 et 1 et que le produit xyz = 24 n'est pas égal à 1 : l'aire ne doit pas être nulle.
En pratique
Dans un problème de géométrie, Routh évite de calculer séparément les trois points d'intersection. Dès que les partages des côtés sont connus, la formule donne directement la proportion d'aire du triangle central.
Si la question porte seulement sur la concurrence des trois céviennes, le théorème de Céva est plus direct : on teste si xyz = 1. Routh devient utile lorsque l'on veut aussi mesurer l'écart à cette situation par une aire.
Pour éviter les erreurs, on inscrit les trois rapports dans l'ordre autour du triangle avant toute substitution. Un rapport inversé change le paramètre et impose de réécrire la formule avec une convention cohérente.
À ne pas confondre
Le théorème de Routh et le théorème de Céva. Céva décide si trois céviennes sont concourantes en testant un produit de rapports. Routh calcule l'aire du triangle produit lorsqu'elles se coupent deux à deux. Si x = 2, y = 3 et z = 1/6, Céva conclut à la concurrence ; la formule de Routh traduit la même configuration par une aire nulle.
Limites et pièges
Produit égal à 1. Lorsque xyz = 1, le numérateur de la formule est nul. Les trois intersections se confondent : il n'existe plus de triangle intérieur d'aire positive, mais un point de concurrence.
Rapport pris à l'envers. Remplacer BD/DC par DC/BD remplace x par son inverse. Le symptôme est un résultat qui change alors que seul le nom des deux segments a été permuté. Il faut fixer les trois rapports dans le même ordre cyclique avant d'appliquer la formule correspondante.
Triangle ou partage dégénéré. Si ABC est aplati, son aire est nulle et aucun rapport d'aires n'est défini. Si D, E ou F atteint un sommet, un rapport devient nul ou non fini. Dans ces cas, on étudie directement la figure limite au lieu de substituer aveuglément dans la formule intérieure.
Pour aller plus loin
Le théorème de Céva isole exactement le cas où le triangle de Routh se réduit à un point.
La fiche sur la cévienne précise l'objet géométrique commun aux trois droites utilisées dans la construction.
L'article Aire et barycentre prolonge l'étude des rapports d'aires dans un triangle par un autre point de vue géométrique.
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