GéométrieThéorème · Glossaire
Fondamental de la géométrie affine (théorème)
Le théorème fondamental de la géométrie affine affirme que toute bijection d'un espace affine de dimension supérieure ou égale à 2 sur lui-même qui envoie les droites sur des droites est nécessairement une transformation affine. Ce résultat caractérise les transformations affines par une propriété géométrique simple : la conservation de la colinéarité. Il constitue un analogue affine du théorème fondamental de la géométrie projective.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses exactes du théorème fondamental de la géométrie affine.
- Relier la conservation des droites à une partie linéaire inversible suivie d’une translation.
- Vérifier l’alignement sur une transformation calculée du plan.
- Repérer les échecs en dimension 1, sans bijectivité ou hors du cadre réel.
En clair
Imaginez un dessin tracé sur une feuille transparente. Vous pouvez étirer la feuille, la cisailler ou la déplacer : un triangle change de forme, mais chaque trait droit reste droit et les points alignés le restent.
Le théorème affirme que, dans un plan ou un espace réel d’au moins deux dimensions, toute transformation réversible qui respecte ainsi toutes les droites est forcément de ce type. Derrière cette règle purement géométrique se cache donc une opération algébrique : une transformation linéaire inversible suivie d’une translation.
Définition
Dans le cadre usuel d’un espace affine réel E de dimension au moins 2, considérons une application f de E sur lui-même. Le théorème fondamental de la géométrie affine caractérise f à partir d’une propriété d’incidence : f doit être bijective et l’image de chaque droite affine doit être une droite affine.
Après le choix d’une origine et de coordonnées, il existe alors une application linéaire inversible L et un vecteur de translation b tels que :
Le choix de l’origine modifie l’écriture de b, mais pas le caractère affine de f. L’inversibilité de L traduit la bijectivité de la transformation.
Ainsi, trois points alignés ont des images alignées. Réciproquement, toute transformation de la forme précédente avec L inversible est une bijection qui envoie chaque droite sur une droite. Le théorème ne se contente donc pas de donner une propriété des transformations affines : il permet de les reconnaître à la seule conservation globale des droites.
Le principe
Soit E un espace affine réel de dimension au moins 2. Si une application f de E sur lui-même est bijective et si, pour toute droite d de E, l’ensemble f(d) est une droite, alors f est affine. Après choix de coordonnées, sa forme est :
Inversement, toute application de cette forme satisfait ces deux propriétés.
Quand l'utiliser
Le cadre doit être un espace affine réel, et sa dimension doit être au moins 2. L’application agit sur tout l’espace et doit être bijective : chaque point d’arrivée possède un unique antécédent. Enfin, la condition porte sur toutes les droites, pas seulement sur quelques directions ou sur les côtés d’une figure. Sous ces hypothèses, on obtient une transformation affine dont la partie linéaire est inversible.
La dimension 1 est un contre-cas décisif. Sur la droite réelle, l’application qui associe à t le nombre t3 est bijective et envoie l’unique droite entière sur elle-même, mais elle n’est pas affine. Dans ce cadre, il faut vérifier directement une écriture de la forme at + b plutôt qu’invoquer le théorème.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan réel, considérons la transformation F définie par :
Les trois points de départ sont A de coordonnées (0, 0), B de coordonnées (1, 1) et C de coordonnées (2, 2). Ils appartiennent à la même droite. La figure montre leur alignement avant et après la transformation.
1. La partie linéaire de F a pour déterminant . Comme ce nombre est non nul, F est bijective.
2. En remplaçant successivement x et y, on obtient :
Les trois images ont la même seconde coordonnée ; elles sont donc alignées sur une droite horizontale.
3. Le point B est le milieu de A et C. Son image est aussi le milieu des deux autres images, car et leur seconde coordonnée vaut 2. Ce contrôle confirme ici la conservation de l’alignement et du rapport de milieu attendue pour une transformation affine.
En pratique
Dans une démonstration géométrique, le théorème sert à reconnaître une transformation sans chercher d’abord sa matrice. Si la correspondance est bijective et respecte chaque droite, on peut conclure qu’elle est affine ; si la bijectivité manque, il faut étudier l’application directement.
Pour contrôler une transformation donnée par des coordonnées, on isole sa partie linéaire et sa translation. Un déterminant non nul dans le plan établit la bijectivité ; un déterminant nul signale qu’une direction est écrasée et interdit d’utiliser le théorème sous sa forme bijective.
Pour réfuter rapidement le caractère affine, on cherche une droite dont l’image est courbe, ou trois points alignés dont les images ne le sont plus. Si toutes les droites semblent préservées mais que le test ne porte que sur un dessin fini, une preuve globale reste nécessaire.
À ne pas confondre
Transformation affine et transformation linéaire. Une transformation linéaire fixe l’origine, tandis qu’une transformation affine peut comporter une translation. Par exemple, une translation non nulle est affine mais n’est pas linéaire dans un repère dont elle déplace l’origine.
Géométrie affine et géométrie projective. Une transformation projective conserve aussi les alignements, mais elle peut modifier le statut des directions parallèles en faisant intervenir des points à l’infini. Une transformation affine conserve le parallélisme dans l’espace affine.
Théorème géométrique et fonction affine d’une variable. Une fonction réelle de la forme at + b est affine, mais le théorème fondamental exige au moins deux dimensions. En dimension 1, la conservation de l’unique droite ne suffit pas à caractériser cette forme.
Limites et pièges
Dimension 1. Toute bijection de la droite sur elle-même envoie la droite entière sur elle-même. Ce symptôme rend la condition géométrique vide ; il faut revenir à la définition algébrique d’une fonction affine.
Bijection absente. Une application peut écraser le plan sur une droite ou confondre plusieurs points. Même si de nombreux alignements subsistent, la conclusion du théorème ne s’applique pas ; il faut d’abord tester injectivité et surjectivité.
Corps de coordonnées plus général. Sur un corps possédant des automorphismes non triviaux, la conclusion naturelle peut être semi-affine plutôt qu’affine au sens strict. La formulation donnée ici concerne les espaces réels ; dans un autre cadre algébrique, il faut consulter la version adaptée du théorème.
Vérification sur un échantillon. Préserver les côtés d’un polygone, deux familles de parallèles ou quelques triplets alignés ne prouve pas que toutes les droites sont conservées. Il faut une propriété valable sur l’espace entier, ou établir directement la forme affine de l’application.
Pour aller plus loin
La fiche géométrie projective présente le cadre dont le théorème fondamental projectif constitue l’analogue mentionné dans la définition.
L’article Une notion affine inspirée par la physique prolonge la lecture par un usage de la pensée affine hors du seul énoncé abstrait.
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