Homéomorphisme

Imaginez un cercle en caoutchouc que l’on étire jusqu’à obtenir une ellipse, sans le couper ni recoller de points. Chaque point du cercle correspond à un seul point de l’ellipse, et le retour est possible sans rupture.

Cette déformation réversible donne l’intuition d’un homéomorphisme. La topologie ignore les longueurs et les angles, mais elle surveille la continuité et les propriétés qui résistent à ce type de transformation.

Soient deux espaces topologiques, notés X et Y. Une application f de X vers Y est un homéomorphisme lorsqu’elle est bijective, continue, et que son application inverse est elle aussi continue. En notant l’inverse de f par f⁻¹, le critère complet s’écrit : $f:X\to Y\text{ bijective},f\text{ continue},f^{-1}:Y\to X\text{ continue}f:X\backslash to\; Y\backslash text\{\; bijective\},\backslash quad\; f\backslash text\{\; continue\},\backslash quad\; f^\{-1\}:Y\backslash to\; X\backslash text\{\; continue\}$. On parle aussi d’isomorphisme topologique.

La bijectivité signifie que chaque point de X possède une image unique dans Y et que chaque point de Y possède un unique antécédent dans X. La continuité de f interdit une rupture dans le passage de X à Y. La continuité de f⁻¹ impose la même exigence au retour ; elle ne découle pas toujours de la seule continuité de f.

Deux espaces reliés par un homéomorphisme sont dits homéomorphes. Ils possèdent les mêmes invariants topologiques, notamment la connexité, la compacité, le groupe fondamental et les nombres de Betti. La topologie algébrique utilise de tels invariants pour démontrer que deux espaces ne sont pas homéomorphes lorsqu’une valeur diffère.

Prenons le cercle unité X, formé des points de coordonnées (x, y) vérifiant x² + y² = 1, et l’ellipse Y vérifiant u²/4 + v² = 1. L’application étudiée envoie un point (x, y) sur le point (u, v) défini par $f(x,y)=(2x,y)f(x,y)=(2x,y)$.

1. Vérifier l’arrivée. Pour u = 2x et v = y, on obtient u²/4 + v² = x² + y² = 1. L’image de chaque point de X appartient donc à Y.

2. Construire le retour. À chaque point (u, v) de Y, on associe (u/2, v). Ce point appartient à X, et ce retour est unique. Ainsi, f est bijective et son inverse vérifie $f^{-1}(u,v)=(u\mathrm{/}2,v)f^\{-1\}(u,v)=(u/2,v)$.

3. Contrôler la continuité. Les coordonnées de f et de f⁻¹ sont obtenues par multiplication ou division par 2 ; ces deux applications sont continues. L’application f est donc un homéomorphisme du cercle sur l’ellipse.

4. Refaire un contrôle ponctuel. Le point (1, 0) devient (2, 0), puis l’inverse redonne (1, 0). Le point (0, 1) reste (0, 1). La figure rend visible cet étirement horizontal réversible.

Pour reconnaître deux espaces topologiquement équivalents, on peut construire une transformation explicite, puis contrôler séparément sa bijectivité, sa continuité et celle de son inverse. Le cercle et l’ellipse se prêtent à cette démarche.

Pour prouver que deux espaces ne sont pas homéomorphes, chercher directement toutes les bijections serait inefficace. On compare plutôt un invariant topologique : une différence de connexité, de compacité, de groupe fondamental ou de nombre de Betti suffit à exclure un homéomorphisme.

Le choix entre ces deux démarches dépend du constat disponible. Une transformation réversible suggère une preuve constructive ; un invariant différent fournit au contraire une obstruction immédiate.

Application continue. Une application continue peut identifier plusieurs points ou manquer une partie de l’espace d’arrivée. Un homéomorphisme doit en plus être bijectif et posséder un inverse continu.

Bijection continue. Même bijective, une application continue n’est pas automatiquement un homéomorphisme. L’application qui enroule l’intervalle [0, 2π[ sur le cercle, par t ↦ (cos t, sin t), est bijective et continue, mais son inverse se rompt au point de raccord.

Isométrie. Une isométrie conserve les distances. L’application (x, y) ↦ (2x, y) utilisée ici comme homéomorphisme du cercle vers l’ellipse étire les distances horizontales ; elle n’est donc pas une isométrie, bien qu’elle préserve la structure topologique.

Vérifier un seul sens ne suffit pas. Le symptôme est une preuve qui établit la continuité et la bijectivité de f, mais ne dit rien sur f⁻¹. Il faut démontrer la continuité du retour ou invoquer un résultat dont toutes les hypothèses sont établies.

Une déformation intuitive n’est pas encore une preuve. Un dessin qui étire un objet peut masquer une coupure, un recollement ou l’identification de plusieurs points. Il faut donner l’application, son inverse et contrôler leur continuité.

Quelques invariants égaux ne concluent pas toujours. L’accord de la connexité et de la compacité, par exemple, ne construit aucun homéomorphisme. En revanche, la différence d’un seul invariant topologique suffit à prouver que les espaces ne sont pas homéomorphes.

La forme dessinée n’est pas la structure topologique. Des angles, longueurs ou courbures différents ne sont pas, à eux seuls, des obstacles. Le cercle et l’ellipse de l’exemple ont des géométries distinctes mais sont homéomorphes.

La bijection détaille la correspondance point par point exigée avant toute question de continuité.

La connexité en topologie présente un invariant qui peut écarter immédiatement un homéomorphisme.

La compacité en topologie approfondit une autre propriété conservée par les homéomorphismes.

La topologie quotient éclaire les opérations de recollement, utiles pour comprendre pourquoi une bijection continue peut avoir un retour discontinu.