GéométrieNotion · Glossaire
Homéomorphe
Deux espaces topologiques sont homéomorphes s'il existe un homéomorphisme entre eux, c'est-à-dire une bijection bicontinue (continue avec son inverse). L'homéomorphisme est la notion d'isomorphisme pour les espaces topologiques : deux espaces homéomorphes possèdent exactement les mêmes propriétés topologiques. Par exemple, un intervalle ouvert est homéomorphe à la droite réelle, et une sphère n'est pas homéomorphe à un tore car ils ont des propriétés topologiques différentes (genre).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les trois conditions d'un homéomorphisme.
- Vérifier pas à pas que l'intervalle ouvert ]0, 1[ est homéomorphe à la droite réelle.
- Utiliser un invariant topologique pour exclure une équivalence, comme entre la sphère et le tore.
En clair
Imaginez un élastique que l'on étire ou que l'on courbe sans le couper ni recoller deux points. Sa forme visible change, mais ses voisinages et ses trous restent organisés de la même façon. En topologie, deux espaces sont homéomorphes lorsqu'une correspondance point par point réalise cette transformation sans déchirure dans un sens comme dans l'autre. La distance et les angles peuvent changer : seule compte la structure topologique.
Définition
Soient deux espaces topologiques, notés X et Y. Ils sont homéomorphes s'il existe une application de X vers Y, notée , qui remplit trois conditions : elle est bijective, elle est continue et son application réciproque est continue. Une telle application h s'appelle un homéomorphisme. L'expression « bijection bicontinue » résume les trois conditions, mais la continuité de la réciproque ne doit pas être sous-entendue.
Cette relation signifie que X et Y ont la même structure topologique. Toute propriété définie uniquement par cette structure, appelée invariant topologique, prend donc la même valeur ou le même statut sur les deux espaces. La connexité et la compacité en sont des exemples ; le genre distingue notamment une sphère d'un tore. En revanche, longueurs, angles et courbures ne sont pas préservés en général.
La relation « être homéomorphe » est réflexive, symétrique et transitive. Une déformation imagée peut suggérer un homéomorphisme, mais la preuve exige soit une application bicontinue explicite, soit un résultat qui garantit la continuité de sa réciproque.
Un exemple, pas à pas
On veut relier l'intervalle ouvert ]0, 1[ à toute la droite réelle. Les données sont les bornes exclues 0 et 1, le milieu 1/2 et la fonction tangente, continue et strictement croissante entre −π/2 et π/2.
1. Pour un nombre x de ]0, 1[, on pose :
2. Quand x parcourt ]0, 1[, l'angle parcourt ]−π/2, π/2[. La fonction h est donc continue et strictement croissante.
3. Lorsque x s'approche de 0, h(x) tend vers −∞ ; lorsqu'il s'approche de 1, h(x) tend vers +∞. Chaque réel est ainsi atteint une seule fois.
4. Pour un réel y, l'application réciproque vaut :
Elle est continue et renvoie toujours un nombre de ]0, 1[.
Le contrôle se refait au milieu : h(1/2) = 0 et l'application réciproque envoie 0 sur 1/2. Les deux fonctions sont continues ; l'intervalle ouvert et la droite réelle sont donc homéomorphes. Le schéma associé rend visibles les images des bornes exclues et du milieu.
En pratique
Pour montrer que deux espaces sont topologiquement équivalents, on cherche une correspondance point par point continue dont la réciproque est également continue. Une formule explicite, comme celle qui relie ]0, 1[ à la droite réelle, permet de vérifier directement ces conditions.
Pour transporter une propriété topologique, un homéomorphisme évite de reprendre toute l'étude sur le second espace. On peut alors transférer connexité ou compacité. Si la question porte plutôt sur les distances ou les angles, il faut choisir une notion plus rigide qu'un homéomorphisme.
Pour prouver que deux espaces ne sont pas homéomorphes, on cherche un invariant qui diffère. Le genre tranche le cas de la sphère et du tore : leur apparence peut être déformée, mais leur structure topologique ne peut pas être identifiée par un homéomorphisme.
À ne pas confondre
Homéomorphe et isométrique. Une isométrie préserve les distances, tandis qu'un homéomorphisme préserve seulement la structure topologique. Un cercle et une ellipse sont homéomorphes, mais la déformation usuelle de l'un vers l'autre ne conserve pas toutes les distances.
Homéomorphe et difféomorphe. Un difféomorphisme impose, sur des espaces munis d'une structure différentiable, que l'application et sa réciproque soient différentiables. Un homéomorphisme n'exige que leur continuité ; la dérivabilité n'est donc pas un critère pour établir la seule équivalence topologique.
Limites et pièges
Une bijection continue ne suffit pas toujours. L'application qui enroule l'intervalle [0, 2π[ une fois autour du cercle est continue et bijective. Sa réciproque n'est pas continue au point de raccord : des points du cercle arbitrairement proches reçoivent des angles proches de 0 ou de 2π. Il faut donc contrôler la continuité dans les deux sens.
Une déformation dessinée n'est pas une preuve. Un croquis peut masquer une coupure, un collage ou l'écrasement de plusieurs points sur un seul. Il faut produire un homéomorphisme ou invoquer un critère applicable aux espaces considérés.
Un invariant commun ne conclut pas à lui seul. Deux espaces peuvent partager la connexité ou la compacité sans être homéomorphes. La sphère et le tore sont tous deux compacts et connexes, mais leur genre diffère ; cette différence suffit à exclure un homéomorphisme.
Pour aller plus loin
Homéomorphisme — Approfondir l'application bicontinue qui réalise concrètement l'équivalence entre deux espaces topologiques.
Invariant — Voir comment une propriété préservée aide à comparer des objets et à démontrer qu'ils ne sont pas équivalents.
connexité - topologie - — Étudier une propriété topologique préservée par tout homéomorphisme.
compacité - topologie - — Approfondir un autre invariant utile pour distinguer ou rapprocher des espaces topologiques.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres